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Video-Transkript

Lasst uns herausfinden, was Polynome sind. Das sieht wie ein sehr kompliziertes Wort aus. Aber wenn du es zerlegst, fängt es an, Sinn zu machen. Insbesondere dann, wenn wir anfangen, Beispiele zu sehen. Der erste Teil des Wortes, lass es mich unterstreichen - ist "Poly". Das kommt aus dem Griechischen und bedeutet "Viele". Du siehst "Poly" oft in der Englischen oder Deutschen Sprache. Es bedeutet dann immer "viel von etwas". In diesem Fall, bedeutet es "viele Nome". "Nome" kommt von dem lateinischen Wort "Nomen". Wir sehen das in vielen Namen. Aber in diesem mathematischen Kontext bezieht sich das auf "viele Terme". Wir sprechen gleich darüber, was ein Term eigentlich ist. Um einen greifbaren Eindruck davon zu bekommen, was Polynome sind, und was keine Polynome sind, gebe ich Dir ein paar Beispiele. Und dann können wir vielleicht einige formalere Regeln aufschreiben. Ein Beispiel für ein Polynom könnte sein: 10x hoch 7 minus 9x zum Quadrat plus 15x hoch 3 plus 9. Das ist ein Polynom. Ein weiteres Beispiel für ein Polynom ist: 9a zum Quadrat minus 5. Selbst wenn ich nur eine Zahl habe, selbst wenn ich nur die Zahl 6 hätte, könnte dies offiziell als Polynom anerkannt werden. Ich schreibe nun 7x zum Quadrat minus 3. Lass mich das mit einer anderen Variablen schreiben. 7y zum Quadrat minus 3y plus Pi. Das wäre ebenfalls ein Polynom. Dies sind Beispiele für Polynome. Was sind Beispiele für Dinge, die keine Polynome sind? Wenn ich das "hoch 7" genau hier ersetzen würde durch ein "hoch minus 7" Wenn ich ich schreiben würde: 10x hoch minus 7 minus 9x zum Quadrat plus 15x hoch 3 plus 9, Wenn ich ich schreiben würde: 10x hoch minus 7 minus 9x zum Quadrat plus 15x hoch 3 plus 9, dann wäre das kein Polynom. Ich denke, dass du hier eine Regel erkennen kannst, was etwas zu einem Polynom macht Du musst nicht-negative Potenzen haben, für deine Variablen in jedem der Terme. Ich habe das Wort "Terme" benutzt. Lass mich das erklären. Denn das hilft zu erklären, was ein Polynom ist. Ein Polynom ist etwas, das zusammengesetzt ist aus einer Summe von Termen. In unserem ersten Polynom hier, ist der erste Term 10x hoch 7. Der zweite Term ist -9 x zum Quadrat. Der nächste Term ist 15x hoch 3. Der letzte Term - Du könntest ihn den 4. Term hier nennen - ist 9. Der letzte Term - Du könntest ihn den 4. Term hier nennen - ist 9. Du siehst etwas. Lass mich das unterstreichen. Dies alles sind Terme. Dies ist ein 4-Terme Polynom genau hier. Du könntest sagen:"Hey, warte, das Ding, das du in rot geschrieben hast, das hat auch 4 Terme. Du könntest sagen:"Hey, warte, das Ding, das du in rot geschrieben hast, das hat auch 4 Terme. Wir müssen also noch einige Regeln mehr aufstellen, um offiziell ein Polynom zu bekommen. Wir müssen also noch einige Regeln mehr aufstellen, um offiziell ein Polynom zu bekommen. Vor allem ein Polynom in einer Variablen. Jeder dieser Terme enthält einen Koeffizienten. Jeder dieser Terme enthält einen Koeffizienten. Das ist das Ding, das die Variable, die potenziert wird, multipliziert. Das ist das Ding, das die Variable, die potenziert wird, multipliziert. In diesem ersten Term ist der Koeffizient 10. Lass mich das Wort aufschreiben: Koeffizient. Das ist ein anderes hübsches Wort, aber es ist nur ein Ding, das multipliziert wird Das ist ein anderes hübsches Wort, aber es ist nur ein Ding, das multipliziert wird in diesem Fall mit der Variable, die x hoch 7 ist. Der erste Koeffizient ist 10. Der nächste Koeffizient - hier muss ich vorsichtig sein- denn der zweite Koeffizient hier ist -9. Wir schauen uns Koeffizienten an. Der dritte Koeffizient ist 15. Du kannst den vierten Term, oder diese vierte Zahl, als Koeffizienten ansehen, weil dies umgeschrieben werden kann. Statt 9 zu schreiben, könntest du auch 9x hoch 0 schreiben. Statt 9 zu schreiben, könntest du auch 9x hoch 0 schreiben. Und dann sieht dies etwas klarer aus, wie ein Koeffizient. Generell ist ein Polynom die Summe einer begrenzten Zahl von Termen, Generell ist ein Polynom die Summe einer begrenzten Zahl von Termen, wobei jeder Term einen Koeffizienten hat, den ich mit dem Buchstaben A bezeichnen kann woei jeder Term einen Koeffizienten hat, den ich mit dem Buchstaben A bezeichnen kann und der mit einer Variablen multipliziert wird, die mit einer ganzzahligen nicht-negativen Zahl potenziert wird. Das hier ist ein Koeffizient. Es kann... ich will hier nicht zu technisch werden- eine positive oder negative Zahl sein. Es kann jede reale Zahl sein. Wir haben unsere Variable. Und der Exponent hier muss nicht-negativ sein. Nicht-negativ Ganze Zahl Der Grund, warum das, was ich in rot geschrieben habe, kein Polynom ist, ist: Ich habe hier einen Exponenten, der eine negative ganze Zahl ist. Lass mich dir noch einige ander Beispiele geben für Dinge, die keine Polynome sind. Lass mich dir noch einige ander Beispiele geben für Dinge, die keine Polynome sind. Wenn ich den zweiten Term anders schreiben würde und anstelle der 9 zum Quadrat Wenn ich den zweiten Term anders schreiben würde und anstelle der 9 zum Quadrat 9 hoch 1/2 minus 5 schreiben würde, dann wäre das kein Polynom, weil der Exponent genau hier nicht mehr eine ganze Zahl ist. dann wäre das kein Polynom, weil der Exponent genau hier nicht mehr eine ganze Zahl ist. Es ist 1/2. Das ist dasselbe wie 9 mal die Quadratwurzel aus -5. Das ist dasselbe wie 9 mal die Quadratwurzel aus -5. Das wäre kein Polynom. Oder, wenn ich schreiben würde: 9a hoch a -5, wäre das auch kein Polynom, weil der Exponent hier eine Variable wäre. Es ist keine nicht-negative ganze Zahl. All dies sind Beispiele für Polynome. Es gibt noch ein paar mehr Terminologien, die wichtig zu wissen sind. Es gibt noch ein paar mehr Terminologien, die wichtig zu wissen sind. "Polynom" ist ein allgemeiner Ausdruck für einen von diesen Ausdrücken, die mehrere Terme haben. Eine endliche Anzahl, nicht eine unendliche Anzahl Eine endliche Anzahl, nicht eine unendliche Anzahl und jeder dieser Terme hat diese Form. Aber es gibt spezifischere Terme, wenn du nur einen, oder zwei oder drei Terme hast. Aber es gibt spezifischere Terme, wenn du nur einen, oder zwei oder drei Terme hast. Wenn du nur einen Term hast, nennt man das ein "Monom". Das ist ein Monom. Das ist ein Beispiel für ein Monom, das als 6x hoch 0 geschrieben werden kann. Ein anderes Beispiel für ein Monom könnte 10z hoch 15 sein. Ein anderes Beispiel für ein Monom könnte 10z hoch 15 sein. Das ist auch ein Monom. Der Koeffizient könnte Pi sein. Pi. Uups. ..könnte Pi sein. Wir könnten also schreiben: Pi mal b hoch 5. Alle von diesen hier wären Monome. Was ist ein Binom? Bei einem Binom hast du zwei Terme. Monom, mono = 1, ein Term. Binom, bi = 2, zwei Terme. Das hier ist ein Binom. Binom. Du hast 2 Terme. All dies sind Polynome, aber dies sind Unter-Klassifizierungen. Es ist ein Binom - Du hast 1,2 Terme. Ein weiteres Beispiel für ein Binom wäre: 3y hoch 3 plus 5y. Wieder einmal hast du 2 Terme, die diese Form hier haben. Wieder einmal hast du 2 Terme, die diese Form hier haben. Du wirst auch den Ausdruck "Trinom" hören. Bei Trinomen hast du 3 Terme. "Trinom." Das hier ist ein Beispiel. Das ist der erste Term, das der zweite, und das hier der dritte. Das nächste Wort, das du oft in dem Kontext mit Polynomen hörst, Das nächste Wort, das du oft in dem Kontext mit Polynomen hörst, ist der Grad eines Polynoms. Du könntest hören, dass Leute sagen: "Was ist der Grad von einem Polynom?" oder, "Was ist der Grad von einem gegebenen Term eines Polynoms?" Lass uns mit dem Grad eines gegebenen Terms starten. Lass uns zu diesem Polynom hier gehen. Wir haben diesen ersten Term, 10x hoch 7. Der Grad ist die Potenz, mit der wir die Variable potenzieren. Das ist ein Term siebten Grades. Der zweite Term ist ein Term zweiten Grades. Der dritte Term ist ein Term dritten Grades. Und Du könntest diesen konstanten Term, der eigentlich nur eine 9 ist Dieser Term, der eigentlich nur eine 9 ist, wird von manchen Leuten als "konstanter Term" bezeichnet. Manche Leute sagen auch "Term nullten Grades". Wenn Menschen von dem Grad des gesamten Polynoms reden, sagen sie: Wenn Menschen von dem Grad des gesamten Polynoms reden, sagen sie: "Was ist der Grad des höchsten Terms?" "Was ist der Term mit dem höchsten Grad?" Der Grad wird der Grad des ganzen Polynoms sein. Dieses erste Polynom ist ein Polynom 7-ten Grades. Dieses erste Polynom ist ein Polynom 7-ten Grades. Das hier ist ein Polynom zweiten Grades, weil es einen Term zweiten Grades hat, und das ist der höchste Term. Das hier ist ein dritter Grad. Du könntest auch sagen "Ein Binom dritten Grades", weil der höchste Grad eines Terms der Grad 3 ist. Wenn dies hier 5y hoch 7 statt 5y wäre, dann wäre dies ein Binom 7-ten Grades. Das hier ist ein Monom 15-ten Grades. Das ist ein Trinom zweiten Grades. Einige weitere Dinge werde ich hier für dich einführen. Da gibt es die Idee von dem führenden Term und dem führenden Term und führenden Koeffizienten. Da gibt es die Idee von dem führenden Term und dem führenden Term und führenden Koeffizienten. Was bedeutet "führend"? Es kann den ersten Term oder Koeffizienten bezeichnen. Wenn du sagst "führender Term", dann ist das der erste Term. Wenn du sagst: "führender Koeffizient", dann ist das der erste Koeffizient des ersten Terms. Aber oft ist es auch verbunden mit der Standard-Form eines Polynoms. Aber oft ist es auch verbunden mit der Standard-Form eines Polynoms. Eine Standard Form ist Eine Standard Form ist, wo du den Terme in der Reihenfolge ihrer Grade schreibst. Du fängst mit dem höchsten Term an. Was ich hier zum Beispiel habe, ist nicht in Standard-Form geschrieben, weil ich zwar den höchsten Grad an erster Stelle habe, dann aber hätte ich den nächst-höheren nehmen sollen, was x hoch 3 ist. dann aber hätte ich den nächst-höheren nehmen sollen, was x hoch 3 ist. Hier aber habe ich x zum Quadrat geschrieben. Das ist also nicht die Standard-Form. Wenn ich dies in Standard-Form schreiben würde, wäre dies 10x hoch 7, was der Term mit dem höchsten Grad ist, dann 15x hoch 3, plus 15x hoch 3, was der nächst-höhere Grad ist. Dann kommt -9x zum Quadrat, was der Term mit dem nächst-höheren Grad ist. Und dann, der niedrigste Grad hier ist +9 oder 9x hoch 0. Und dann, der niedrigste Grad hier ist +9 oder 9x hoch 0. Nun haben wir dies in Standard-Form. Ich habe diese Terme in der Reihenfolge sinkender Grade geschrieben, wobei der höchste Grad als erster auftaucht. Hier ist klar, dass dein führender Term 10x hoch 7 ist, denn das ist der erste, und unser führende Koeffizient is die Zahl 10. Also, in diesem Video hatten wir sehr viel. Aber hoffentlich ist die Erwähnung des Wortes "Polynom" nun für dich weniger Schrecken-einflößend. Das sind wirklich nützliche Wörter, mit denen du vertraut sein wirst, wenn wir unsere Mathe-Reise fortsetzen.