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Modellieren mit einfachen Exponentialfunktionen - Textaufgaben

Video-Transkript

Sarah Swift hat einen Strafzettel bekommen. Sarah Swift hat einen Strafzettel bekommen. Wenn sie die Strafe gleich bezahlt, fallen keine zusätzlichen Gebühren an. Wartet sie mit der Zahlung, wird die Strafe entsprechend der Monate t, um die sie die Zahlung verzögert, festgelegt. entsprechend der Monate t, um die sie die Zahlung verzögert, festgelegt. Die Gesamtstrafe F ist in der Tabelle in Euro angegeben. Diese Zahlen bilden eine exponentielle Funktion. Gegeben sind also die Monate, um die sie die Zahlung verzögert, und der Betrag der Strafe. Das sind Datenpunkte einer Exponentialfunktion. Das sind Datenpunkte einer Exponentialfunktion. Um uns daran zu erinnern, wie eine Exponentialfunktion aussieht: Die Strafe, als Funktion des Verzugs in Monaten, Die Strafe, als Funktion des Verzugs in Monaten, ist gleich irgendeiner Zahl mal einer Basis hoch t. ist gleich irgendeiner Zahl mal einer Basis hoch t. Dieses 'exponentielle Funktion' hier sagt uns, dass unsere Funktion diese Form hier haben wird. dass unsere Funktion diese Form hier haben wird. Mal sehen, ob wir die Fragen beantworten können. Die erste Frage lautet: Was ist die Basis r von aufeinanderfolgenden Werten von F? Der Grund, warum r hier 'Basis' heißt, ist, dass es das Verhältnis von zwei-- sagen wir du erhöhst t um 1, das Verhältnis davon zu F von t sollte für jedes t das Gleiche sein. Ich möchte dir ein Beispiel dafür geben: Das Verhältnis von F(2) zu F(1) sollte das Gleiche sein, wie das Verhältnis von F(3) zu F(2). Dieses wiederum ist gleich dem Verhältnis von F(4) zu F(3). Oder allgemein gesagt, das Verhältnis von F(t+1) zu F(t) sollte immer das Gleiche sein. Also das ist die Basis. Schauen wir einmal, was das hier ist. Wenn wir uns die Tabelle ansehen, Wenn wir uns die Tabelle ansehen, Was ist das Verhältnis von F(2) zu F(1)? 450 dividiert durch 300? Das ist 1,5 675 dividiert durch 450? Das ist 1,5. 1012,50 dividiert durch 675? Das ist 1,5 Das Verhältnis (Quotient) in all diesen Fällen ist also 1,5. Das Verhältnis (Quotient) in all diesen Fällen ist also 1,5. Nun zu einer anderen Möglichkeit, um zu erklären, warum r hier Basis heißt. Wir nehmen diese allgemeine Form. Was machen wir dann mit F(t+1)? Das wäre einfach a mal r hoch (t+1) und F(t) ist gleich a mal r hoch t. Was wird das ergeben? Mal sehen, das ergibt r hoch t+1-t und das ist r hoch 1 und das ist gleich r. Diese Variable r ist also gleich dem allgemeinen Verhältnis. Wir haben herausgefunden, dass die Basis 1,5 ist. Wir wissen daher, dass unsere Funktion die Form F(t) = a mal 1,5 hoch t hat. Statt r zu schreiben, schreibe ich 1,5, da r gleich 1,5 ist. 1,5 hoch t. Schreib eine Formel für diese Funktion. Nun, das haben wir schon fast gemacht, aber wir haben noch nicht ausgerechnet was a ist. Um a auszurechnen, könnten wir es substituieren. Wir wissen, was F(1) ist. Wenn t gleich 1 ist, dann ist F gleich 300. Mit dieser Information können wir nach a auflösen. Mit dieser Information können wir nach a auflösen. Wir können jeden dieser Datenpunkte nehmen, um nach a aufzulösen. Also machen wir das. F(1) ist gleich a mal 1,5 hoch 1 oder oder a mal 1,5. Und das ist gleich 300, so wie es hier steht. Wir könnten auch 1,5 mal a gleich 300 schreiben. Wir dividieren nun beide Seiten durch 1,5. und erhalten a gleich 200. Das ist die Formel für unsere Funktion. Ich schreibe das in Schwarz, damit wir es sehen. Das ist gleich 200 - das ist unser a - mal 1,5 hoch t. Das ist gleich 200 - das ist unser a - mal 1,5 hoch t. Denken wir über die nächste Frage nach. Denken wir über die nächste Frage nach. Wie viel muss Sarah zahlen, in Euro, wenn sie rechtzeitig zahlt? Rechtzeitig zahlen bedeutet, dass t gleich Null ist. Wir berechnen die Strafe für t = 0. Wir werden also F(0) berechnen. Und was ist F(0)? Das ist 200 mal 1,5 hoch 0. 1,5 hoch 0 ist gleich 1, also ist das einfach 200. Eine andere Denkweise wäre diese: Betrachten wir das gemeinsame Verhältnis. Um von 675 auf 450 zu kommen, dividierst du durch das gemeinsame Verhältnis. Um von 450 auf 300 zu kommen ebenfalls. Um von t=1 zu t= 0 zu kommen, dividierst du wieder durch das gemeinsame Verhältnis. Und so erhältst du 200. Wieder eine andere Überlegung wäre, jeweils von Monat zu Monat zu gehen, wenn wir mit gemeinsamen Verhältnis multiplizieren. Jedes Mal multiplizieren wir mit dem gemeinsamen Verhältnis.