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Die Graphen der linearen Funktion f(x) ist gleich mx plus b und die Exponentialfunktion g(x) ist gleich a mal r hoch x (mit r > 0), gehen durch die Punkte (-1 | 9) und (1 | 1). gehen durch die Punkte (-1 | 9) und (1 | 1). gehen durch die Punkte (-1 | 9) und (1 | 1). Beide Graphen sind unten dargestellt. Das hier ist eindeutig die lineare Funktion, diese Gerade hier. Das hier ist eindeutig die lineare Funktion, diese Gerade hier. Und das hier ist die Exponentialfunktion. Diese hier. Da die Exponentialfunktion mit zunehmendem x fällt, Da die Exponentialfunktion mit zunehmendem x fällt, ist dies ein guter Hinweis darauf, dass r -- sie sagen r < 0 -- aber es ist ein guter Hinweis, dass r zwischen 0 und 1 liegt. g(x) nähert sich immer mehr 0 an je größer x wird. g(x) nähert sich immer mehr 0 an je größer x wird. Lass und die Informationen über die zwei Schnittpunkte dazu nutzen, um die Gleichungen der Funktionen aufzustellen. Zunächst die linearen Funktion. f(x) ist gleich mx plus b. Es sind zwei Punkte gegeben. Diese können wir nutzen, um die Steigung zu ermitteln. Das m hier ist unsere Steigung. Das ist die Veränderung in y geteilt durch die Veränderung in x. Die vertikale Änderungsrate unter Berücksichtigung der horizontalen Achse. Nun, wie groß ist die x-Veränderung zwischen diesen zwei Punkten? Nun, wie groß ist die x-Veränderung zwischen diesen zwei Punkten? Unsere x-Veränderung, wenn man von x = minus 1 zu x = 1 geht. Wir enden also bei 1, und starten bei minus 1. Wir enden also bei 1, und starten bei minus 1. Also 1 minus minus 1, unsere x-Veränderung ist 2. Das sehen wir hier unten. Was ist mit der y-Veränderung? Wir starten bei 9. Ich mache das in einer anderer Farbe. Wir starten bei 9 und enden bei 1. Wir starten bei 9 und enden bei 1. Wir starten bei 9 und enden bei 1. 1 minus 9 ergibt minus 8. Um es nochmal deutlich zu machen: Bei x = 1, ist y = 1. Bei x = minus 1, ist y = 9. Oder, wie ich es hier gezeichnet habe: Wir enden bei x = 1, y = 1. Wir sind bei x = minus 1, y = 9 gestartet. Wir haben einfach die Differenzen genommen, wir erhalten minus 8 durch 2, das ergibt minus 4. Und so können wir nun f(x) umschreiben als: f(x) gleich minus 4, unsere Steigung, mal x. Minus 4 mal x plus b. Die Steigung sieht man hier. Jedes mal, wenn x um 1 erhöht wird, Jedes mal, wenn x um 1 erhöht wird, verringert sich y um 4. Jedes mal, wenn also x um 1 zunimmt, verringert sich y um 4. Daher also die Steigung von minus 4. Überlegen wir uns nun was b ist. Um b zu ermitteln, können wir einen dieser Punkte verwenden, um bei gegebenem x herauszufinden, was f(x) ist. Dann lösen wir nach b auf. Versuchen wir es mal mit f(1), 1 ist eine schönere Zahl. Wir können also schreiben: f(1) ist gleich minus 4 mal 1 plus b. Sie sagen uns, dass f(1) gleich 1 ist. Diesen Teil hier schreiben wir als minus 4 plus b gleich 1. Und dann können wir 4 auf beiden Seiten dieser Gleichung addieren, und wir erhalten b gleich 5. Wir erhalten also: f(x) gleich minus 4x plus 5. Macht das jetzt Sinn, dass der y-Schnittpunkt 5 ist? Nun, das sieht man hier. Man hätte erahnen können, dass der y-Schnittpunkt 5 ist. Jetzt haben wir es herausgefunden. Das war vielleicht 5,00001 oder so, aber jetzt wissen wir es sicher. Es ist minus 4x plus 5. Wir könnten auch sagen: Wenn die Steigung minus 4 beträgt, wenn das hier 9 ist, dann nimmt x um 1 zu, und man verringert y um 4. Das bringt uns zu y gleich 5. Das ist also der y-Schnittpunkt. Egal wie, wir haben die lineare Funktion ermittelt. Nun ermitteln wir die Exponentialfunktion. Hier können wir die beiden Punkte nutzen, um die zwei Unbekannten zu ermitteln. Lasst uns den ersten Punkt nehmen. Also g (minus 1) wäre a mal r hoch minus 1. Also g (-1) wäre a mal r hoch minus 1. Sie sagen uns, dass g (minus 1) gleich 9 ist. g (minus 1) ist gleich 9. a mal r hoch minus 1 ist gleich a durch r gleich 9. Wir können beide Seiten durch r teilen und erhalten: a gleich 9r. Lass uns jetzt den anderen Punkt nehmen. Wir wissen, dass g(1) -- was dasselbe ist wie a mal r hoch 1, oder auch a mal r -- gleich 1 ist. Damit ist a mal r gleich 1. Wie können wir nun diese Information hier nutzen, a ist gleich 9 mal r und a mal r ist gleich 1, um nach a und r aufzulösen? Wir haben ein kleines System hier, ein nichtlineares System, aber ein ziemlich einfaches. Wir könnten einfach dieses a nehmen und hier für a einsetzen. Dann erhalten wir 9r für a. Diese erste Nebenbedingung sagt uns, dass a gleich 9r sein muss. Also schreiben wir anstatt a 9r mal r gleich 1. Also schreiben wir anstatt a 9r mal r gleich 1. Wir könnten auch schreiben: 9r zum Quadrat gleich 1. Wir könnten auch schreiben: 9r zum Quadrat gleich 1. Beide Seiten durch 9 teilen. r Quadrat ist gleich 1 geteilt durch 9. Um r zu ermitteln, kann man die positive und negative Quadratwurzel von beiden Seiten ziehen. die positive und negative Quadratwurzel von beiden Seiten ziehen. Wir wissen aber, dass r größer als 0 ist. Also können wir einfach die Hauptwurzel von beiden Seiten ziehen, und erhalten: r gleich 1 durch 3. Und dann können wir das in eine dieser beiden Formen einsetzen, um a zu ermitteln. Wir wissen, dass a gleich 9r ist. Also 9 mal 1 durch 3, a ist gleich 3. Unsere Exponentialfunktion lautet also: g(x) ist gleich a, also 3, mal r, also 1 geteilt durch 3, hoch x.