Tabellen von Exponentialfunktionen untersuchen

Gegeben ist eine Exponentialfunktion h von n. Da es eine Exponentialfunktion ist, hat sie die Form a mal r hoch n. Dabei ist a unser Ausgangswert und r ist das gemeinsame Verhältnis. Wir nehmen an, dass r größer als 0 ist. Und wir haben einige Informationen über h von n. Wenn n = 2 ist, ist h von 2 = 144. h von 4 ist gleich 324. h von 6 ist gleich 729. Basierend auf diesen Informationen wollen wir herausfinden, was a und r sind. Wie immer: bitte halte das Video an versuche es selbst! Ok, nun versuchen wir es zusammen. Ich nehme mir zuerst r vor. Das gemeinsame Verhältnis, wenn wir aufeinanderfolgende n's haben. Wenn wir h von 3 haben, können wir das Verhältnis von h von 3 und h von 2 finden. r würde sich daraus ergeben. Oder: wenn wir h von 4 und h von 3 hätten könnten wir auch r herausfinden. Wir können nahe daran kommen. Wir müssen nur das Verhältnis zwischen h von 4 und h von 2 herausfinden. h von 4: Das Verhältnis zwischen h von 4 und h von 2 ist gleich... ...wir wissen, dass h von 4 gleich 324 ist. und h von 2 ist 144. Wir können das vereinfachen. Wenn wir das, indem wir da beide durch 2 teilbar sind beide durch 2 teilen. Dies hier im Zähler, 324 geteilt durch 2 ergibt 162, 144 geteilt durch 2 ergibt 72. Mal schauen, ob wir wieder durch 2 teilen können. 81 geteilt durch 36. Teile durch 2 - nein, wir können nicht weiter durch 2 teilen. Aber wir können durch 9 teilen. 81 geteilt durch 9 ergibt 9. 36 geteilt durch 9 ergibt 4. Das hier können wir also als 9 durch 4 umschreiben. Wir könnten dieses Verhältnis auch umschreiben, indem wir diese Form der Exponentialfunktion nutzen. indem wir diese Form der Exponentialfunktion nutzen. Wir können also auch sagen, dass h von 4 gleich a mal r hoch n ist. n ist 4, also r hoch 4 und h von 2 is a mal r hoch 2. a mal r hoch 2. Und das kann man gut vereinfachen. a geteilt durch a kürzt sich weg zu 1. r hoch 4 geteilt durch r quadrat, das ergibt r hoch 4 minus 2 oder r quadrat also r hoch 2 oder einfach r quadrat. Wir haben also eine nette kleine Gleichung. r quadrat muss gleich 9/4 sein. Lass mich das aufschreiben. r quadrat = 9/4 und r ist größer als 0. Wir können also einfach sagen, dass r die Quadratwurzel von 9/4 ist, Wir können also einfach sagen, dass r die Quadratwurzel von 9/4 ist, und das ist gleich 3/2. Wir können also r herausfinden. Wie finden wir nun heraus, was a ist? Es gibt mehrere Möglichkeiten, das zu tun. Du kannst dir a vorstellen als das, was h von 0 gleich ist. Wir können also eine tabellarische Darstellung vornehmen. Lass mich dies hier vorbereiten. Eine kleine Tabelle hier. Eine kleine Tabelle: Dies ist n und dies ist h von n. n ist gleich 0. Wir wissen noch nicht, was h von 0 ist, nur, dass es gleich a ist. Wir wissen noch nicht, was h von 1 ist. Wir wissen aber, dass h von 2 gleich 144 ist. Und wir wissen, da das gemeinsame Verhältnis 3/2 ist, dass wenn wir h von 1 nehmen und dies mit 3/2 multiplizieren, wir h von 2 erhalten. Und wenn wir h von 0 nehmen und mit 3/2 multiplizieren, erhalten wir h von 1. Also, h von 1 ist gleich 144 geteilt durch 3/2. Lass uns das aufschreiben. h von 1 ist gleich 144 geteilt durch 3/2, was wiederum 144 mal 2/3 ergibt. Lass mal schauen, 144 geteilt durch 3 ist gleich ist gleich mal sehen eine 3 passt hinein.. Ich mache das gerade mal per Hand, mein Gehirn funktioniert nicht so gut, während ich Videos mache. 3 passt 4 mal in die 14, 4 mal 3 ergibt 12. Das nun subtrahieren und wir erhalten wir erhalten 48. 3 passt 8 mal in die 24. 8 mal 3 ist gleich 24. Es bleibt kein Rest. So, das ergibt 48 mal 2 was wiederum gleich 96 ist. gleich 96. Wenn wir also herausfinden wollen, was h von 0 ist teilen wir wieder durch 3/2. h von 0 ergibt 96. geteilt durch 3/2, was gleich 96 mal 2/3 ist. 96 geteilt durch 3 ergibt 32. Das ist also 32. war das richtig? Ja, 32 mal 2 ergibt 64. 64 Und so haben wir mal eben herausgefunden, dass a gleich 64 ist. und r, r ist gleich 3/2. Also können wir schreiben: h von b h von n ist gleich 64. gleich 64 mal 3/2, mal 3/2, unser gemeinsames Verhältnis hoch n. Es gibt noch einen anderen Weg, auf dem wir dies hätten lösen können. Anstelle dieser tabellarischen Methode hätten wir nach a auflösen können, da wir r kennen. Wir wissen zum Beispiel, dass h von 2^, was gleich a mal - das gemeinsame Verhältnis ist gleich 3/2 - hoch 2 ergibt 144. Also könnten wir sagen: a mal 9/4 ist gleich 144. Und wir können beide Seiten mit dem Kehrwert multiplizieren: 9/4 Wir multiplizieren beiden Seiten mit 4/9, mal 4/9 und das kürzt sich mit diesem und das kürzt sich mit diesem und übrig bleibt a gleich 144 geteilt durch 9. Und das ist gleich ist gleich 16. Stimmt das? Ja, passt. Yup, dann also 16 mal 4. 16 mal 4 ergibt 64. Das ist exakt das, was wir vorher hatten. Diese Methode sieht sogar, wenn ich mir das jetzt betrachte, noch etwas einfacher aus. Es ist äquivalent. Ich mag dies hier, weil du das gemeinsame Verhältnis in Aktion siehst. Und du siehst den Ausgangswert. Es ist h von 0. Aber auf welchem Weg auch immer: Sobald Du r herausgefunden hast und Du eins der h von kennst weisst du, was die Funktion für einen Wert ist und kannst nach a auflösen. Wenn du a kennst und du weißt, was die Funktion für irgendein n ist, dann könntest du nach r auflösen. Ich hoffe, dass dir das Spaß gemacht hat.