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Graphen von Exponentialfunktionen untersuchen: Negativer Anfangswert

Video-Transkript

Gegeben ist ein Graph der Funktion f von x. Ich sage gleich, dass es sich hier um eine Exponentialfunktion handelt. Sie sieht schon nach einer aus, aber es ist netter, wenn es dir jemand sagt. Unser Ziel in diesem Video ist, herauszufinden, bei welchem Wert von x die Funktion f von x gleich oder größer als minus 1/25 ist. Du könntest versucht sein, dies mit bloßem Auge zu erkennen. Aber wenn f von x minus 1/25 ist, ist dies direkt unter der x-Achse. Wenn ich versuche, dies mit bloßem Auge herauszufinden, wäre das schwer. Es ist sehr schwer, den genauen Wert zu nennen. Er könnte bei 3 oder bei 4 sein. Ich bin mir da nicht sicher. Ich möchte das nicht mit bloßem Auge erkennen, bzw. schätzen. Stattdessen werde ich einen Ausdruck finden, der f von x definiert, weil wir hierzu einige Informationen haben. Und dann kann ich nach x auflösen. Lass uns das machen. Wir wissen, dass f von x eine Exponentialfunktion ist. Daher hat sie die Form f von x is gleich unserem Ausgangswert a mal dem gemeinsamen Verhältnis r hoch x. Der Ausgangswert ist einfach. Das ist der Wert, den die Funktion annimmt, wenn x gleich 0 ist. Und du siehst hier, wenn x gleich 0 ist ist r hoch x gleich 1. Damit ist f von 0 gleich a. Und was, wenn f 0 ist? Wenn x gleich 0 ist, dann fragen wir eigentlich: Wo ist der Schnittpunkt mit der y-Achse? Wir sehen, dass f von 0 gleich minus 25 ist. a ist dann also -25. Wenn x gleich 0 ist, ist r hoch x gleich 1. f von 0 ist gleich minus 25. Wir sehen das genau hier. Lass uns nun herausfinden, was das gemeinsame Verhältnis ist. Es gibt ein paar Wege dafür. Das gemeinsame Verhältnis ist das Verhältnis zwischen zwei aufeinanderfolgenden Werten, die sich um eins unterscheiden. Was meine ich damit? Du kannst dies betrachten als das Verhältnis zwischen f von 1 und f von 0. Das ergibt das gemeinsame Verhältnis. Oder das Verhältnis zwischen f von 2 und f von 1. Das ergibt das gemeinsame Verhältnis. Zum Glück wissen wir, dass f von 0 gleich -25 ist. Und, wir wissen, dass f von 1, also wenn x gleich 1 ist, y, oder f von x oder f von 1 gleich minus 5 ist. Und so sind wir in der Lage, heruaszufinden, dass unser gemeinsames Verhältnis r gleich minus 5 geteilt durch minus 25 ist, was gleich 1/5 ist. Wenn man etwas negatives durch etwas negatives teilt, ergibt dies etwas positives. So erhältst du 5 geteilt durch 25, was 1/5 ergibt. Wir können einen Ausdruck schreiben, der f von x definiert. f von x ist gleich minus 25 mal 1/5 hoch x. Nun lass uns zurückkommen zu unserer Frage: Wann ist dies gleich minus 1/25? Wann ist dies gleich minus 1/25? Lass uns dies gleich setzen. Bei welchem Wert von x wird dieser Ausdruck gleich minus 1/25? Mal sehen. Wir können multiplizieren. Wir wollen nach x auflösen. Mal schauen. Wir teilen beide Seiten durch minus 25. So erhalten wir 1/5 hoch x. Wir dividieren beiden Seiten durch minus 25. Das minus 25 verschwindet hier. Und auf der rechten Seite, teilen wir etwas negative durch etwas negatives, so wird es positiv, und wir erhalten 1/625. Und 1/5 hoch x. Das ist dasselbe wie 1 hoch x geteilt durch 5 hoch x, gleich 1/625, 1 hoch x ist einfach gleich 1. Es ist egal, dass dies hoch x ist. Du siehst, dass 5 hoch x gleich 625 sein muss. Lass mich dies hier hin schreiben. ups, ich habe die Farbe nicht gewechselt. 5 hoch x muss gleich 625 sein. Der beste Weg, sich dem zu nähern, ist die Reihe von 5 hoch aufzuschreiben. 5 hoch 1 ist gleich 5. 5 zum Quadrat ist 25. 5 hoch 3 ist gleich 125. 5 hoch 4 - wir multiplizieren dies also mit 5 - ist gleich 625. x ist also gleich 4. Denn 5 hoch 4 ergibt 625. Wir können also nun sagen, dass f von 4 gleich minus 1/25 ist. Du kannst dies überprüfen. Du kannst dies gleich hier überprüfen. 1/5 hoch 4 ergibt 1/625. Minus 25 geteilt durch 625 ergibt minus 1/25. Das hat hoffentlich einiges erklärt.