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Anfangswert & gemeinsames Verhältnis von Exponentialfunktionen

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Gegeben sei eine Funktion. Zum Beispiel h von n Zum Beispiel h von n ist gleich Zum Beispiel h von n ist gleich Zum Beispiel h von n ist gleich ein Viertel x zwei hoch n. ein Viertel x zwei hoch n. ein Viertel x zwei hoch n. Vielleicht fällt dir hier gleich zu Beginn etwas Interessantes auf. Vielleicht fällt dir hier gleich zu Beginn etwas Interessantes auf. Die Variable, also die Eingabe bei unserer Funktion, ist im Exponenten. Die Variable, also die Eingabe bei unserer Funktion, ist im Exponenten. Eine Funktion wie diese wird Exponentialfunktion genannt. Das ist also eine Exponentialfunktion. Das ist also eine Exponentialfunktion. Weil die Variable, die Eingabe unserer Funktion, Weil die Variable, die Eingabe unserer Funktion, in der Definition der Ausgabe der Funktion im Exponenten sitzt. in der Definition der Ausgabe der Funktion im Exponenten sitzt. Die einzusetzende Variable steht im Exponenten. Ich könnte noch eine andere Exponentialfunktion aufschreiben. Ich könnte schreiben, f von, sagen wir die Eingabe ist eine Variable t, ist gleich fünf mal fünf mal drei hoch t. drei hoch t. Dies ist wieder eine Exponentialfunktion. Dies ist wieder eine Exponentialfunktion. Exponentialfunktionen weisen einige interessante Eigenschaften auf. Exponentialfunktionen weisen einige interessante Eigenschaften auf. Wir werden viele davon untersuchen, aber zuvor werde ich ein bisschen auf verschiedene Begriffe eingehen. Etwas, worauf du vielleicht schon gestoßen bist, ist der Begriff eines Initialwerts. ist der Begriff eines Initialwerts. ist der Begriff eines Initialwerts. ist der Begriff eines Initialwerts. Das ist im Wesentlichen der Wert der Funktion, wenn die Eingabe null ist. In diesem Fall ist der Initialwert für die Funktion h, h von null. Wenn wir das ausrechnen erhalten wir ein Viertel mal 2 hoch null. 2 hoch null ist 1. Das ergibt also ein Viertel. Das ergibt also ein Viertel. Der Initialwert scheint, zumindest in diesem Fall, einfach die Zahl zu sein, die hier heraußen sitzt. Wir haben den Initialwert mal irgendeiner Zahl hoch diesem Exponenten. Der Name für diese Zahl wird noch kommen. Probieren wir das Ganze mit f von t. Der Initialwert, also f von null, Der Initialwert, also f von null, ist hier 5 mal 3 hoch 0 und dasselbe nochmal. 3 hoch 0 ist 1. 5 mal 1 ist 5. Der Initialwert ist erneut, das hier. Also wenn wir Exponentialfunktionen dieser Form haben, macht das Sinn. Also wenn wir Exponentialfunktionen dieser Form haben, macht das Sinn. Wenn du null anstelle des Exponenten einsetzt, Wenn du null anstelle des Exponenten einsetzt, dann wird die Zahl, die potenziert wird, 1 dann wird die Zahl, die potenziert wird, 1 und dir bleibt nur das Ding hier über, mit welchem du sie multiplizierst. und dir bleibt nur das Ding hier über, mit welchem du sie multiplizierst. Hoffentlich ergibt das einen Sinn, aber wenn du es dir ansiehst, macht es hoffentlich zumindest ein wenig Sinn. Wie nennen wir nun diese Zahl hier? Wie nennen wir nun diese Zahl hier? Wie nennen wir diese Zahl hier? Oder diese hier? Dies hier wird gemeinsames Verhältnis genannt. Dies hier wird gemeinsames Verhältnis genannt. Dies hier wird gemeinsames Verhältnis genannt. Dies hier wird gemeinsames Verhältnis genannt. Warum wird es so genannt? Warum wird es so genannt? Wenn du an ganzzahlige Eingaben hier denkst, insbesondere an aufeinanderfolgende ganzzahlige Eingaben, würdest du ein Muster erkennen. Zum Beispiel, h von 0 h von 0 h von 0 ist gleich ein Viertel. Nun, was ist h von 1? Nun, was ist h von 1? Es ist ein Viertel mal 2 hoch 1. Also ein Viertel mal 2. mal 2. Was ist h von 2? Was ist h von 2? Es ist ein Viertel Es ist ein Viertel mal 2 zum Quadrat, mal 2 zum Quadrat, also mal 2 mal 2. Wir könnten es auch als 2 mal h von 1 anschreiben. 2 mal h von 1 anschreiben. Ich hätte das auch bei h von 1 schreiben können. Ich hätte das auch bei h von 1 schreiben können. h von können wir schreiben als 2 mal h von 0. 2 mal h von 0. Wenn wir das Verhältnis zwischen h von 2 und h von 1 ermitteln würden, würde es 2 sein. Wenn wir das Verhältnis zwischen h von 1 und h von 0 ermitteln würden, würde es 2 sein. Das ist das gemeinsame Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden ganzzahligen Eingaben in unsere Funktion. Also h von n Also h von n Also h von n plus 1 durch h von n durch h von n ergibt ergibt ergibt ein Viertel mal 2 hoch n plus 1 durch ein Viertel mal 2 hoch n. mal 2 hoch n. Das kürzt sich. 2 hoch n plus 1 dividiert durch 2 hoch n ist dasselbe wie 2. [Da 1/2 hoch n = 2 hoch -n; 2 hoch -n x 2 hoch n+1 = 2] Das ist unser gemeinsames Verhältnis. Also für die Funktion h. Für die Funktion f ist unser gemeinsames Verhältnis 3. ist unser gemeinsames Verhältnis 3. Wenn wir das anders herum betrachten würden, wenn jemand sagen würde, hey, ich habe eine Funktion g wenn jemand sagen würde, hey, ich habe eine Funktion g wenn jemand sagen würde, hey, ich habe eine Funktion g wenn jemand sagen würde, hey, ich habe eine Funktion g eine Funktion g, deren Initialwert deren Initialwert deren Initialwert 5 ist. 5 ist. Und jemand würde sagen, das gemeinsame Verhältnis der Funktion das gemeinsame Verhältnis der Funktion das gemeinsame Verhältnis der Funktion ist 6, wie würde diese Exponentialfunktion aussehen? Und sie sagen dir, dass es sich um eine Exponentialfunktion handelt. Also g von x, x ist die Eingabe, ist gleich unserem Initialwert, der 5 ist. der 5 ist. Unser Intialwert ist 5. Und dann mal unserem gemeinsamen Verhältnis Und dann mal unserem gemeinsamen Verhältnis Und dann mal unserem gemeinsamen Verhältnis hoch x. Also nocheinmal, Initialwert, hier herüben, ist 5. Und unser gemeinsames Verhältnis ist 6, ist 6, hier herüben. Hoffentlich hat dich das ein bisschen vertrauter gemacht mit einigen Teilen einer Exponentialfunktion, warum sie so genannt werden, wie sie genannt werden.