Exponentielles Wachstum & Verfall zeichnen

Wir sind hier bei der grafischen Darstellung von elementaren Exponentialfunktionen auf Khan Academy. Die Aufgabe ist, die folgende Exponentialfunktion grafisch darzustellen. Die Funktion lautet, h von x ist gleich 27 mal 1/3 hoch x. Der Anfangswert ist also 27 und 1/3 ist die Basis. Die Funktion ist in exponentieller Normalform geschrieben. Und wir haben ein grafisches Tool, wo wir diese zwei Punkte festlegen können. Und wir können die horizontale Asymptote definieren, Und wir können eine horizontale Asymptote definieren, um die Funktion zu konstruieren. Diese drei Dinge reichen, um eine Exponentialfunktion zu zeichnen, wenn wir wissen, dass es eine Exponentialfunktion ist. Überlegen wir kurz. Am einfachsten scheint mir der Anfangswert, überlegen wir uns den Anfangswert. Der Anfangswert liegt bei x ist gleich Null. x gleich Null, 1/3 hoch Null ist 1, uns bleiben also 27 mal 1 oder einfach 27. Diese Zahl nennen wir, wenn es in dieser Form geschrieben ist, wir nennen sie Anfangswert. Wenn x gleich Null ist, ist h von x gleich 27. Wir zeichnen h(x) auf der y-Achse. Zeichnen wir nun einen anderen Punkt. Überlegen wir kurz. Wenn x gleich 1 ist, was ist dann h(x)? Wenn x gleich 1 ist, was ist dann h(x)? Es ist dann 1/3 hoch 1, also 1/3. Und 1/3 mal 27 ergibt 9. Wenn x gleich 1 ist, dann ist h(1) gleich 9. Wir können das überprüfen. Und jetzt überlegen wir uns noch die Asymptote. Und jetzt überlegen wir uns noch die Asymptote. Wie passiert hier, wenn x x wirklich sehr, sehr groß wird? Wenn ich 1/3 hoch einer großen Zahl nehme, sagen wir hoch 10 oder hoch 100 oder hoch 1000, dann wird sich das hier Null annähern, wenn x sehr, sehr groß wird. Und etwas, das gegen Null geht, mal 27, nun, das geht auch gegen Null. Die horizontale Asymptote haben wir also bei Null. Und wir können überprüfen, ob das auch für andere Punkte als die zwei gilt, die wir überlegt haben. Wenn x gleich 2 ist, das zeigt das Diagramm, dann geht y, das ist h(x), durch den Punkt (2/3). h(2) sollte also gleich 3 sein. Und du kannst nachweisen, dass es wirklich so ist. wenn x =2, 1/3 zum Quadrat ist 1/9 1/9 mal 27 ist 3. Und wir sehen das genau hier. Wenn x = 2, dann ist h(2) gleich 3. Damit bin ich also zufrieden. Machen wir noch so eine Aufgabe. Stelle die folgende Exponentialfunktion grafisch dar. Die gleiche Logik also. Wenn x = 0, dann reduziert sich g(0) auf den Anfangswert. Wir scrollen nach unten. Der Anfangswert ist -30. Überlegen wir uns, wie es mit x=1 aussieht. Wenn x=1: 2 hoch 1 ist 2. 2 mal -30 ist gleich -60. Wenn x gleich 1 ist, nimmt der Graph den Wert -60 an. Überlegen wir uns die Asymptote, wo die liegen soll. Überlegen wir uns, wenn x sehr sehr negativ wird. Wenn x sehr sehr negativ wird, also, 2 hoch -1 Ist 1/2. 2 hoch -2 ist -1/4. 2 hoch -3 ist 1/8. Je größer das negative x wird oder je höher das Niveau der negativen Werte, oder je negativer x wird, in dem Maß nähert sich 2 der Null an. Und -30 mal etwas, das sich Null annähert, nähert sich auch Null an. Die Asymptote ist also am richtigen Ort, wenn x sich negativer Unendlichkeit annähert, je weiter wir nach links kommen, nähert sich der Funktionswert Null an. Wir sehen, dass sie sich von unten Null annähert. Wir sehen, sie nähert sich von unten an, weil wir schon den Anfangswert untersucht haben, und wir mittels dieser Basis einen anderen Punkt gefunden haben. Hoffentlich hast du das interessant gefunden.