Die Schönheit der Algebra

Bevor wir richtig mit Algebra anfangen, will ich einen der grössten Denker der Geschichte zitieren, Galileo Galilei, denn ich denke, dass dieses Zitat die Bedeutung von Algebra und überhaupt Mathematik im Allgemeinen erfasst. Er sagte: Philosophie ist in diesem großartigen Buch geschrieben, das stets vor unseren Augen ist Ich meine damit das Universum. Aber wir können es nicht verstehen, wenn wir nicht zuerst dessen Sprache lernen und die Symbole begreifen in denen es geschrieben ist. Dieses Buch ist in der mathematischen Sprache geschrieben, ohne die man vergeblich durch ein dunkles Labyrinth wandert. Also sehr dramatisch aber auch sehr tiefsinnig und das ist wirklich der Sinn von Mathematik und was wir sehen werden wenn wir damit beginnen, immer tiefer und tiefer in die Algebra einzutauchen ist, dass wir anfangen werden Dinge zu abstrahieren und wir werden beginnen die Kernideen zu erreichen, die anfangen zu erklären wie das Universum aufgebaut ist. Natürlich können diese Ideen auch bei Dingen wie Wirtschaftswissenschaften, Finanzwesen, Physik und Chemie angewendet werden, aber im Kern ist es die gleiche Idee. Und so sind sie elementarer, reiner, als irgendeine dieser Anwendungen. Und um zu sehen was ich damit meine, zur Grundidee vorzustossen: Fangen wir an mit einem... Ich denke wir könnten, wir haben mit der grandiosen Philosophie des Universums angefangen wie in der Mathematik geschrieben. Aber fangen wir mit einer konkreten und einfachen Idee an. aber wir werden weiter abstrahieren und sehen wie die selbe Idee sich über viele Domänen in unserem Universum verbindet Also sagen wir, wir wären im Supermarkt und wir werden dort etwas kaufen, was reduziert ist. Der Aktionspreis sagt, dass es um 30% reduziert ist, und ich bin daran interessiert - und ich kaufe nicht in allzu ausgefallenen Läden ein - also sagen wir, ich hätte Interesse an einer Hose und die Hose kostete vor der Aktion ungefähr 20 Dollar. Ungefähr so viel gebe ich für meine Hosen aus. Also bin ich an einer 20 Dollar Hose interessiert, aber es kommt noch besser. Es gibt eine Reduzierung von 30% auf diese Hosen. Wie würde ich ausrechnen wie viel ich von den 20 Dollar ausgeben würde? Und das ist noch keine Algebra Dies ist etwas, womit ihr sicher schon zu tun hattet. Ihr würdet 30% mit den 20 Dollar multiplizieren, also würdet ihr sagen, euer Preisnachlass wäre - man kann es schreiben als 30% mal 20 Dollar Wir schreiben die zwanzig Dollar in Lila. Oder ihr könnt dies auch - wenn ihr wollt - als Dezimalzahl schreiben man kann es als 0.30 * 20 Dollar schreiben. Und wenn ihr es ausrechnet würdet ihr 6 Dollar herausbekommen. Also eigentlich nichts neues. Aber was, wenn ich das ganze etwas verallgemeinern möchte? Die ist der Preisnachlass für die Hose, aber was ist, wenn ich den Nachlass für alles andere im Laden wissen will? Nun gut, ich könnte sagen, x sei der Preis - lasst es in einer anderen Farbe machen - Ich mache nur ein Symbol x sei der Preis des Produktes, das ich kaufen möchte, also der Preis ohne dem Nachlass des Produktes. Also können wir plötzlich sagen, dass unser Nachlass 30% mal x entspricht. oder wenn wir das als Dezimalzahl schreiben wollen, könnten wir 30% als Dezimalzahl schreiben. Wir könnten schreiben 0.30 mal x Nun, das ist jetzt interessant. Jetzt könnt ihr mir einen beliebigen Preis eines beliebigen Produkts aus dem Laden geben und ich kann es dann durch x ersetzen, und dann kann ich es eigentlich mit 0.3 multiplizieren und ich würde den Preisnachlass erhalten. Jetzt fangen wir an uns ganz langsam in die Abstraktion der Algebra zu begeben. Wir werden sehen, dass sie noch viel mehr differenziert und tiefer gehend werden und auch, offen gesagt, viel schöner werden, wenn wir beginnen mehr und mehr algebraische Ideen zu untersuchen. Aber wir sind hier noch nicht fertig. Wir könnten das sogar noch mehr abstrahieren Hier haben wir gesagt, dass wir es für ein beliebiges Produkt verallgemeinert haben, wir sagen das also nicht nur für ein 20 Dollar Produkt. Wenn es ein 10 Dollar Produkt gibt können wir das 10 Dollar Produkt hier anstelle des x einsetzen, und dann würden wir sagen 0,30 mal 10. Der Preisnachlass wäre 3 Dollar Es hätte auch ein 100 Dollar Produkt sein können dann wäre der Nachlass bei 30 Dollar Aber lasst uns das noch weiter verallgemeinern. Sagen wir: "Was wäre der Nachlass für ein beliebigen Ausverkauf, - wenn der Ausverkauf eine bestimmte Prozentzahl hat - ? Jetzt können wir sagen, der Nachlass - lasst mich eine Variable definieren - Sagen wir m=... ich sage p, damit es einen Sinn macht, p ist die Prozentzahl der Reduzierung Was können wir jetzt machen? Wir können jetzt sagen, dass der Nachlass der Prozentzahl entspricht. in diesen anderen Beispielen nahmen wir 30 Prozent aber jetzt können wir sagen es ist p, das ist die Reduzierung in Prozent. Es ist p. Das ist die Prozentzahl mal das gefragte Produkt, mal dem Preis, also dem nicht reduzierten Preis des gefragten Produkts Und das war x. Der Nachlass entspricht p mal x. Das ist jetzt wirklich interessant, jetzt haben wir eine allgemeine Art, für eine gegebene prozentuale Raduzierung und für ein gegebenes Produkt x, den Preisnachlass zu berechnen. Und wir mussten unbedingt nicht diese Wörter und Buchstaben benutzen Wir hätten sagen können "y sei der Preisnachlass" y sei der Preisnachlass dann hätten wir die selbe zugrundeliegende Idee aufgeschreiben können, anstatt Preisnachlass zu schreiben, hätten wir schreiben können: y entspricht der Prozentzahl der Reduzierung mal dem nicht reduzierten Preis des Produktes - mal x - . Und man hätte diese Buchstaben so definieren können wie man will. Anstatt hier y zu schreiben, hätte man auch einen griechischen Buchstaben schreiben können solange man die Tatsache verfolgen kann dass das Symbol die eigentliche Reduzierung in Dollar repräsentiert Aber jetzt werden die Dinge richtig interessant denn wir können diese Form von Beziehung benutzen... welches eine Gleichung ist, man setzt y gleich mit dem Ding hier drüben, aus dem Grund nennen wir das eine Gleichung. Dies kann für Dinge genutzt werden welche völlig ohne Bezug zum Preisnachlass im Laden hier drüben sind. Man hätte... also in der Physik werdet ihr sehen dass Kraft Masse mal Beschleunigung entspricht. Die Buchstaben sind anders aber das sind grundsätzlich die selben Ideen. Wir hätten sagen können, y sei die Kraft und m sei... oder die Masse sei p Lasst mich kurz schrieben: p ist die Masse - und das wäre ein intuitiver Weg es zu definieren - aber ich wollte euch zeigen, dass es die selbe Idee ist, also die selbe Beziehung welches auf zwei verschiedene Dinge angewendet wird. Und wir hätten sagen können, x sei die Beschleunigung Wir hätten sagen können, x sei die Beschleunigung. Und dann könnte man das bekannte "Kraft ist Masse mal Beschleunigung" neu geschrieben werden und was wäre eigentlich die exakt gleiche Idee da y - was wir als Kraft definiert haben - entspricht der Masse mal... - wofür wir das Symbol p verwenden - was p mal Beschleunigung entspricht. Wir werden hier einfach den Buchstaben x benutzen - mal x Nun das ist die exakte Gleichung Das ist exakt die selbe Gleichung Wir sehen also, dass wir diese Gleichung nehmen können und es würde zum Biespil in der Wirtschaftswissenschaft funktionieren, oder es kann beim Finanzwesen funktionieren oder bei etwas aus der Informatik oder Logik oder Elektrotechnik oder irgendwas anderes. Es gibt unendlich viele Anwendungen dieser Gleichung Und was so schön in der Mathamtik ist, und insbesondere schön in Algebra ist, wir können uns auf diese Abstraktion konzentrieren, ,uns auf dieses Abstrakte hier konzentrieren, und wir können die Abstraktion hier manipulieren und was wir durch diese Ideen und Manipulationen entdecken können dann neu angewendet werden in all den anderen Anwendungen. Und noch viel schöner: Es teilt uns irgendwie die wahre Struktur des Univerusms mit, wenn man all die menschlichen Definitionen wegnehmen würde und all die menschlichen Anwendungen. Wir könnten beispielsweise sagen: "Schau, wenn y also p mal x entspricht." Also wenn jemand wortwörtlich sagen würde "Hey, das hier ist y." und jemand anders sagt "Ich habe p mal y." Dann kann ich sagen: "Nun, ihr beide habt die selben Sachen in euren Händen." Und wenn ihr eins davon durch eine Zahl teilen würdet und immer noch wollen würdet, dass beide gleich sind würdet ihr auch das andere durch die Zahl teilen. Zum Beipiel: Sagen wir - wir wissen dass y p mal x ist - was ist, wenn ihr wollt dass beide gleich sind. Was würde y geteilt durch x entsprechen? Nunja, y war p mal x also wird y geteilt durch x das selbe sein wie p mal x geteilt duch y Aber das hier ist jetzt interessant, denn p mal x geteilt durch x - naja wenn ihr mit etwas multipliziert und durch das selbe etwas teilt bekommt ihr wieder die eigentliche Zahl. Wenn ihr mit 5 multipliziert und dann durch 5 teilt, werdet ihr wiederum nur p bekommen, oder was auch immer diese Zahl ist. Sie würden sich also herauskürzen. Aber wir konnten die Abstraktion hier manipulieren, und bekamen y durch x ist p - machen wir das x grün - y durch x ist p und das hat jetzt Auswirkungen das hat Auswirkungen für jede dieser Ideen. Das teilt uns eine grundsätzliche Wahrheit über das Universum mit fast frei von all den anderen Anwendungen, aber nun können wir sie alle wieder zurückholen an alle Gebiete wo wir sie angewendet haben. Das wirklich interessante ist, wir werden neue finden... - es gibt eine unendlich große Zahl an Anwendungen und, offen gesagt, wissen wir nicht einmal die meisten davon Wir werden neue dafür finden in eintausend Jahren. Und das gibt euch hoffentlich ein Gefühl dafür, was Galileo damit meinte, dass Mathematik eigentlich die Sprache ist mit der wir die Philosophie des Universums verstehen können. Deswegen sagen manche Leute, dass wenn eine komplett außerirdische Lebensform die Menschen kontaktieren würde, Mathematik wahrscheinlich unser erster gemeinsamer Nenner wäre, ein Gebiet von der wir aus als Grundlage beginnen würden zu kommunizieren.