Undefinierte & unbestimmte Ausdrücke

Stell dir noch einmal vor, dass du ein antiker Philosoph oder Mathematiker seist, der versucht das Gebiet der Mathematik so weit wie möglich zu erforschen. Und du bist nicht faul und möchtest nichts, was irgendwie definierbar ist, undefiniert lassen. Immer, wenn du die Mathematik erweiterst, vor allem im Gebiet der Multiplikation und Division, sind dir ein paar Dinge sehr wichtig. Du hast das Gefühl, dass wenn immer du eine Division definierst, diese durch eine Multiplikation rückgängig gemacht werden kann. Dies ist dir sehr wichtig. Daher nimmst du an, ... dass für jede Art von Division, wenn du mit einer Zahl x beginnst, und sie durch eine Zahl y dividierst, zu welcher die Division durch diese Zahl auch wirklich definiert ist, daher Wenn ich durch eine Zahl dividiere, und dann mit der gleichen Zahl multipliziere, ich wieder die ursprüngliche Zahl erhalte und ich genau hier x erhalte. Dies geschieht, wenn wir mit "normalen" Zahlen multiplizieren und dividieren. Wenn ich 3 durch 2 teile und mit 2 multipliziere, erhalte ich wieder 3. Wenn ich 10 durch 5 dividiere und mal 5 rechne, erhalte ich wiederum 10. Etwas anderes sehr wichtiges ist, dass jede Definition, die ich mache, immer mit der Regel, dass x * 0 = 0 ist, übereinstimmen muss. Dies ist mir wirklich sehr wichtig. Ich möchte die Mathematik erweitern und diesen beiden Regeln darf nicht widersprochen werden. Sie dürfen nicht unwahr sein. Nun da wir dies erledigt haben, kannst du beginnen, die Frage zur Division durch 0 zu untersuchen. Zuerst sagst du : "Nun, lass es mich zuerst definieren." Also machen wir dies. beginnen wir mit... ... einer Annahme ... dass x eine Zahl ungleich 0 ist. Sagen wir, der beste Weg herauszufinden, was x dividiert durch 0 sein soll, ist einfach anzunehmen, dass es definiert ist und ich suche Resultate, welche dies bestätigen. Nehmen wir an x dividiert durch 0 Es ist gleich k. Nun wenn dies wahr ist, und wir definieren, was es bedeutet durch Null zu dividieren, dann nehmen wir an, dass wenn wir mit Null multiplizieren, wir die ursprüngliche Zahl hier erhalten. Dieser Regel wollen wir aber nicht widersprechen. Schauen wir uns also an, was passiert, wenn x dividiert durch 0 gleich k ist. Auf der linken Seite haben wir die Division durch Null, welche dann mit Null multipliziert wird. Nun wenn zwei Dinge gleich sind, und ich etwas für eine Seite mache, damit beide gleich sind, muss ich es auch auf der anderen Seite machen. Links muss gleich rechts sein. Ich muss die linke UND rechte Seite mit Null multiplizieren. Nun gemäß dieser Regel, welche ich einhalten will, muss diese linke Seite hier drüben, gleich x sein. Und gemäß dieser Regel rechts, welche ich befolgen will, muss die rechte Seite hier gleich 0 sein. Aber hier widerspricht sich was! Ich habe angenommen,dass x nicht gleich 0 sein muss und jetzt bin ich gezwungen zu sagen, dass x=0 ist. Und ich kann diese Regel nicht ignorieren. Ich muss beide dieser Regeln befolgen. Ich definiere ... was Division durch 0 bedeutet. Oder ich definiere, dass wenn ich durch etwas dividiere und mit derselben Zahl multipliziere, wieder die ursprüngliche Zahl erhalte. Und ich will die Regel, dass irgendetwas mit 0 multipliziert 0 ergibt, nicht aufgeben. Daher kann ich von all diesen Regeln nur diese hier aufgeben. Und ich sage daher, dass k undefiniert ist. Diese ganzen Widersprüche kommen daher, da ich versucht habe x/0 zu definieren. Das ist nun erledigt. OK.... Hier war nun x nicht gleich Null. Aber was passiert wenn x GLEICH Null ist? Schauen wir uns dies an. Ich versuche, dies nochmals zu definieren. Daher nehme ich an ... dass 0 dividiert durch 0 gleich irgendeine Zahl ist. Nochmals, sagen wir es ist gleich k. Versuchen wir es mit der selben Logik. Wir schreiben 0 / 0 ist gleich k. Ich färbe diese Nullen ein. Diese Null im Zähler ist Magenta und die Null im Nenner ist Blau. Und wiederum, darf ich die Regel nicht verletzen, dass wenn ich mit einer Zahl x beginne, durch etwas teile, bei dem die Division definiert ist. und dann damit multipliziere, ich wieder das ursprüngliche x erhalte. Dies muss ich einhalten. Ansonsten ist es keine gute Definition. Ich multipliziere daher die linke Seite mit 0 und gemäß dieser Regel, die ich einhalten will, muss die linke Seite auf diese Magenta Null gekürzt werden. Es muss auf diese Null hier kürzen. Alles was ich auf einer Seite der Gleichung mache, muss ich auch auf der anderen Seite machen, damit die Gleichung wahr bleibt. Und die beiden Terme waren vorher gleich. Alles was ich mit der Linke Seite mache, muss ich auch mit der rechten machen. Daher multipliziere ich die rechte Seite. Auf der linken Seite erhalte ich 0 Auf der linken Seite erhalte ich 0 und auf der rechten könnte ich einfach Null schreiben, aber ich multipliziere nicht aus, ich erhalte k mal 0. Nun dies hier unten... ist kein Widerspruch! Es ist wahr für alle k, Dies ist eine der grundlegenden Regeln, welche ich aufgestellt habe und die ich nicht verletzen will. Daher ist dies wahr. Wahr für jedes k. Es ist kein Widerspruch. Aber das Problem ist, dass ich ein k bestimmen wollte. Es wäre schön, wenn es Null oder wenn es 1 wäre, oder -1 wäre auch gut. Aber nun erkenne ich, das mit den Regeln hier oben, dies irgendein k sein könnte. Ich kann nicht bestimmen, was für ein k dies ist. Es könnte 100.000 sein, oder 75, oder irgendwas sonst. Dies ist wahr für jegliche k. Ich kann nicht bestimmen, was für ein k dies sein sollte. Und daher sagt man in den Grundlagen der Mathematik, dass 0 dividiert durch 0 nicht bestimmt ist, da es kein sinnvolles Resultat gibt. Daher nennen wir es einfach Unbestimmt. Es gibt kein Resultat, welches besser als alle anderen Resultate ist. Aber wir erkennen hier nun, das Eins dividiert durch Null.... nicht definiert werden kann, dies führte zu Widersprüchen. Null dividiert durch Null könnte aber irgendetwas sein, es kann nicht bestimmt werden und wenn du daher in die höhere Mathematik vordringst, dies wirst du in der Integralrechnung oft hören, sagen wir, dass Null dividiert durch Null unbestimmt ist.