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Einführung zu Extremwerten (Minima und Maxima)

Video-Transkript

Hier habe ich den Graphen der Funktion y gleich f(x) gezeichnet. Hier habe ich den Graphen der Funktion y gleich f(x) gezeichnet. Ich habe den Bereich zwischen 0 und irgendeiner positiven Zahl gezeichnet. Ich habe den Bereich zwischen 0 und irgendeiner positiven Zahl gezeichnet. Die Maxima und Minima möchte ich mir überlegen. Die Maxima und Minima möchte ich mir überlegen. Die absoluten Maxima und Minima in einem bestimmten Bereich hatten wir schon besprochen. Die absoluten Maxima und Minima in einem bestimmten Bereich hatten wir schon besprochen. Das absolute Maximum ist hier oben gleich am Anfang des Bereiches. Das absolute Maximum ist hier oben gleich am Anfang des Bereiches. Das absolute Maximum ist hier oben gleich am Anfang des Bereiches. Wo x = 0 ist, liegt das absolute Maximum für den gegebenen Bereich. Wo x = 0 ist, liegt das absolute Maximum für den gegebenen Bereich. Das absolute Minimum liegt am anderen Ende. Das absolute Minimum liegt am anderen Ende. Wenn das a ist und das b, dann ist das absolute Minimum gleich f(b), Wenn das a ist und das b, dann ist das absolute Minimum gleich f(b), und das absolute Maximum ist f(a). und das absolute Maximum ist f(a). Dann merkst du: hey, da gibt's noch andere interessante Stellen. Dann merkst du: hey, da gibt's noch andere interessante Stellen. Der Wert an diesem Punkt ist nicht der höchste von allen, Der Wert an diesem Punkt ist nicht der höchste von allen, Der Wert an diesem Punkt ist nicht der höchste von allen, Der Wert an diesem Punkt ist nicht der höchste von allen, Der Wert an diesem Punkt ist nicht der höchste von allen, aber verglichen mit den benachbarten Werten liegt er auf einem Hügel. aber verglichen mit den benachbarten Werten liegt er auf einem Hügel. Er ist größer, wie ein lokales Maximum. Er ist größer, wie ein lokales Maximum. So ein Wert heißt "relatives Maximum". Nennen wir es f von c. So ein Wert heißt "relatives Maximum". Nennen wir es f von c. So ein Wert heißt "relatives Maximum". Nennen wir es f von c. So ein Wert heißt "relatives Maximum". Nennen wir es f von c. So ein Wert heißt "relatives Maximum". Nennen wir es f von c. Wir sagen "relativ" weil es noch größere Werte gibt, Wir sagen "relativ" weil es noch größere Werte gibt, aber in der Umgebung von c ist f von c größer als alle anderen. aber in der Umgebung von c ist f von c größer als alle anderen. Ebenso: nennen wir diese Stelle d. f von d ist ein relatives Minimum. Ebenso: nennen wir diese Stelle d. f von d ist ein relatives Minimum. Ebenso: nennen wir diese Stelle d. f von d ist ein relatives Minimum. Ebenso: nennen wir diese Stelle d. f von d ist ein relatives Minimum. Ebenso: nennen wir diese Stelle d. f von d ist ein relatives Minimum. Über den ganzen Intervall oder Bereich gibt es schon noch kleinere Werte, Über den ganzen Intervall oder Bereich gibt es schon noch kleinere Werte, das absolute Minimum in dem Intervall ist zum Beispiel bei x = b. das absolute Minimum in dem Intervall ist zum Beispiel bei x = b. Das ist ein relatives Minimum, weil für alle x in der Umgebung von d ist die Funktion f von x immer größer als f von d. für alle x in der Umgebung von d ist die Funktion f von x immer größer als f von d. für alle x in der Umgebung von d ist die Funktion f von x immer größer als f von d. Ein relatives Maximum liegt also immer höher als die benachbarten Funktionswerte. Ein relatives Maximum liegt also immer höher als die benachbarten Funktionswerte. Ein relatives Maximum liegt also immer höher als die benachbarten Funktionswerte. Ein relatives Maximum liegt also immer höher als die benachbarten Funktionswerte. Und ein relatives Minimum liegt tiefer als die benachbarten Funktionswerte. Und ein relatives Minimum liegt tiefer als die benachbarten Funktionswerte. Wie schreiben wir das mathematisch auf? Wie schreiben wir das mathematisch auf? Die Definition von vorhin sieht so aus: Die Definition von vorhin sieht so aus: f von c ist ein relatives Maximum wenn f von c größer oder gleich f von x f von c ist ein relatives Maximum wenn f von c größer oder gleich f von x f von c ist ein relatives Maximum wenn f von c größer oder gleich f von x für alle x "in der Nähe"-- was heißt das genau? für alle x "in der Nähe"-- was heißt das genau? für alle x "in der Nähe"-- was heißt das genau? für alle x "in der Nähe"-- was heißt das genau? Klarer ausgedrückt: für alle x in einem offenen Intervall zwischen c minus h und c plus h wobei h irgendein Wert größer als 0 ist. für alle x in einem offenen Intervall zwischen c minus h und c plus h wobei h irgendein Wert größer als 0 ist. Ergibt die Definition Sinn? Probieren wir es aus: Ergibt die Definition Sinn? Probieren wir es aus: Konstruieren wir ein offenes Intervall. Konstruieren wir ein offenes Intervall. Es kann viele offene Intervalle geben, wo das stimmt. Wir müssen nur eins finden. Es kann viele offene Intervalle geben, wo das stimmt. Wir müssen nur eins finden. Sagen wir, c plus h liegt hier, und c minus h liegt dort. Sagen wir, c plus h liegt hier, und c minus h liegt dort. Sagen wir, c plus h liegt hier, und c minus h liegt dort. Sagen wir, c plus h liegt hier, und c minus h liegt dort. In diesem Intervall liegt die Funktion an der Stelle c, f von c, In diesem Intervall liegt die Funktion an der Stelle c, f von c, immer höher oder gleich hoch wie die Funktion von den anderen x - Werten in diesem Intervall. immer höher oder gleich hoch wie die Funktion von den anderen x - Werten in diesem Intervall. Jetzt kannst du das Video anhalten und selber die formale Definition eines relativen Minimums aufschreiben. Jetzt kannst du das Video anhalten und selber die formale Definition eines relativen Minimums aufschreiben. Jetzt kannst du das Video anhalten und selber die formale Definition eines relativen Minimums aufschreiben. Jetzt kannst du das Video anhalten und selber die formale Definition eines relativen Minimums aufschreiben. Nehmen wir d als unser relatives Minimum. Nehmen wir d als unser relatives Minimum. f von d ist ein relatives Mimimum wenn f von d kleiner oder gleich f von x ist für alle x in einem offenen Intervall zwischen d minus h und d plus h, mit h größer als 0. Hier kannst du so ein Intervall finden. Das hier sei d plus h. Hier sei d minus h. Das hier sei d plus h. Hier sei d minus h. Über diesem Intervall ist f von d immer kleiner oder gleich alle anderen Funktionswerte, Über diesem Intervall ist f von d immer kleiner oder gleich alle anderen Funktionswerte, kleiner oder gleich den f von all diesen anderen x in diesem Intervall. Deswegen heißt es relatives Minimum. In Alltagssprache ist f an der Stelle c ein relatives Maximum wenn die Funktion an der Stelle c größer ist als alle benachbarten x. wenn die Funktion an der Stelle c größer ist als alle benachbarten x. Und du bist auf einem relativen Minimum, wenn die Funktion an der Stelle d einen tieferen Wert hat als an allen Stellen in der Nähe von d.