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Übungsbeispiel: Absolute und relative Extrema finden

Video-Transkript

Hier müssen wir alle relativen Extrema im folgender Grafik markieren: Unterbrich das Video und probiere es mal. Unterbrich das Video und probiere es mal. Schau, ob Du die relativen Extrema finden kannst. Machen wir es zusammen. Es gibt 2 Arten von Extrema: relative Maxima und relative Minima. Und diese zwei Punkte sind visuell ziemlich einfach zu finden! Das relative Maximum ist der Höhepunkt eines Hügels, Das relative Maximum ist der Höhepunkt eines Hügels, wobei der Hügel nicht der Höchste sein muss. wobei der Hügel nicht der Höchste sein muss. Diese Kurve kann zum Beispiel in anderen Bereichen der Funktion noch höher gehen. Es könnte auch die Spitze eines Berges sein. Weil wir hier vom relativen Maximum reden. Weil wir hier vom relativen Maximum reden. muss der Gipfel nicht der höchste sein. muss der Gipfel nicht der höchste sein. Es kann auch höhere Berge geben Doch jeder diese Gipfel hat sein eigenes relatives Maximum. Relative minima sind das Umgekehrte. Das wären die Talsohlen also die relativen Minima, also die relativen Minima, auch wenn es noch tiefere Bereiche des Graphen gibt. auch wenn es noch tiefere Bereiche des Graphen gibt. Doch es gibt eine Ausnahme bei relativen Maxima und Minima: Doch es gibt eine Ausnahme bei relativen Maxima und Minima: Wenn der Graph flach ist. Wenn es also Bereiche des Graphen gibt, die flach sind, einfach konstant, dann wären diese Punkte eigentlich beides. Wäre das z.B. unsere x-Achse Wäre das zB. unsere x-Achse Wäre das zB. unsere x-Achse und das unsere y-Achse, und wenn x = c und wenn wir ein offenes Interval um c konstruieren, sehen wir, dass der Wert der Funktion bei c, also f(c), mindestens so groß ist wie die Funktion drumherum - und gleichzeitig mindestens so klein, wie die Funktion drumherum, so wird es dann als relatives Minimum bezeichnet. so wird es dann als relatives Minimum bezeichnet. Diesem Fall begegnet man nicht sehr oft. Da jetzt die Basis festgelegt ist, finden wir die relativen Extrema. Finden wir zuerst die relativen Maxima. Das ist der Gipfel eines Berges. Das ist der Gipfel eines Berges. Vielleicht willst du diese zwei Punkte anschauen, doch wenn man hier nach rechts schaut, doch wenn man hier nach rechts schaut, gibt es noch höhere Werte. Es ist also nicht wirklich ein Gipfel. Und wenn man hier nach links geht gibt es auch höhere Werte. Es ist auch kein Höhepunkt eines Berges. Und die relative Minima? Das hier ist ein relatives Minimum. Das hier ist auch ein relatives Minimum. Und das hier ist auch ein relatives Minimum. Und das hier ist auch ein relatives Minimum. Machen wir einen Beispiel mit absoluten Extrema. Hier werden wir gefragt, das absolute Maximum und das absolute Minimum im Graphen zu markieren. Unterbrich das Video und probiere es mal. Unterbrich das Video und probiere es mal. Wir haben eine absolutes Maximum bei, sagen wir mal x = c Wir haben eine absolutes Maximum bei, sagen wir mal x = c wenn, und auch nur wenn, also schreibe ich "iff" für wenn und auch nur wenn, f(c) grösser gleich fx() ist - für alle Bereiche der Funktion. Du hast auch eine absolutes Minimum bei x = c wenn und auch nur wenn (iff) f(c) ist kleiner gleich f(x) für alle x- Bereiche der Funktion Anders gesagt ist das absolute Maximum der Höhepunkt des Graphs. Anders gesagt ist das absolute Maximum der Höhepunkt des Graphs. Das ist also das absolute Maximum. Die absolute Minimum ist intressant, denn in diesem Fall wäre das einer der Endpunkte unseres Bereiches. denn in diesem Fall wäre das einer der Endpunkte unseres Bereiches. denn in diesem Fall wäre das einer der Endpunkte unseres Bereiches. Das ist unsere absolutes Maximum (max) und das hier unsere absolutes Minimum (min). und das hier unsere absolutes Minimum (min). Doch es gibt eine Ausnahme, der du nicht sehr oft begegnen wirst. Wenn unsere Funktion so etwas machen würde, Wenn unsere Funktion so etwas machen würde, wenn es rauf geht und dann flach bleibt. wenn es rauf geht und dann flach bleibt. dann wäre das nicht mehr das absolute Maximum. dann wäre das nicht mehr das absolute Maximum. sondern jeder Punkt in dieser flachen Region. Weil sie gleich hoch oder höher sind als alle andere Punkte in unsere Kurve. Weil sie gleich hoch oder höher sind als alle andere Punkte in unsere Kurve. Sie sind also alle absolute Maxima. Aber dieses Beispiel ist nicht so eine Ausnahme, die du selten sehen wirst Aber dieses Beispiel ist nicht so eine Ausnahme, die du selten sehen wirst In den meisten Fällen ist es ziemlich einfach zu finden, In den meisten Fällen ist es ziemlich einfach zu finden, weil der absolute Höhepunkt der Kurve oft das absolute Maximum ist und das tiefste Punkt deiner Kurve das absolute Minimum ist.