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Aktuelle Zeit:0:00Gesamtdauer:5:32

Einführung in die durchschnittliche Änderungsrate

Video-Transkript

Wir haben verschiedene Definitionen für d(t), einmal links und einmal rechts, d steht für Distanz und t für Zeit. Also wird unsere Distanz als eine Zeitfunktion angegeben. Links haben wir 3t + 1, und du siehst, dass der Graph, der zeigt, wie sich die Distanz als Zeitfunktion verändert, eine Gerade ist. In der Algebra nennen wir die Änderungsrate einer Geraden "Steigung". Und wir können für jede Zeitveränderung herausfinden, wie sich unsere Distanz verändert. Wenn wir in diesem Fall von t=1 auf t=2 wechseln, dann ist unsere Zeitveränderung Δt=1. Welche Veränderung haben wir in der Distanz? Wir gehen von einer Distanz von 4 Metern bei t=1 zu einer Distanz von 7 Metern bei t=2. Unsere Distanzveränderung ist hier also gleich 3. Wenn wir die Einheiten dazuschreiben, sind das 3 Meter pro Sekunde. Unsere Steigung ist die vertikale Veränderung dividiert durch die horizontale Veränderung, also die Veränderung bei d, Δd dividiert durch Δt, was 3 dividiert durch 1 ergibt. Wir können es auch als 3 Meter pro Sekunde schreiben, und du erkennst es vielleicht als eine Rate. Wenn du über die Distanzveränderung in Bezug auf die Zeit nachdenkst, dann ist diese Rate hier deine Geschwindigkeit. Das ist alles eine Wiederholung. Das interessante an einer Geraden, oder einer linearen Funktion, ist, dass sich deine Rate sich an keinem Punkt verändert. Die Steigung dieser Geraden zwischen beliebigen zwei Punkten wird immer 3 sein. Das interessante an der rechten Funktion ist, dass das nicht stimmt. Unsere Änderungsrate verändert sich ständig und wir schauen uns das genauer an, wenn wir zur Differentialrechnung kommen. Dieses Video ist quasi eine Grundlage für die Zukunft, wenn wir Differentialrechnung lernen. Wir schauen uns die momentane Änderungsrate irgendwo an, zum Beispiel hier. Wenn du über die Steigung einer Geraden nachdenkst, die gerade so den Graph berührt, sieht sie ungefähr so aus, die Steigung einer Tangente. Und hier drüben sieht sie etwas steiler aus, und hier sieht sie etwas steiler aus. Es sieht also so aus, als ob deine Änderungsrate sich erhöht, während t sich erhöht. Wie erwähnt, beschäftigen wir uns später mit der momentanen Änderungsrate. Aber wir können bereits über die durchschnittliche Änderungsrate nachdenken. Wenn wir über die durchschnittliche Änderungsrate nachdenken wollen, nutzen wir das Wissen, das wir in Algebra gelernt haben, wir denken über die Steigung von Sekanten nach. Was ist eine Sekante? Wir nutzen sie in der Geometrie. Eine Sekante ist etwas, das eine Kurve an zwei Punkten schneidet. Wenn wir z.B. eine Gerade haben, die bei t=0 und t=1 Schnittpunkte hat. Ich zeichne diese Gerade in Orange. Das hier ist eine Sekante. Du könntest die Steigung der Sekante als die durchschnittliche Änderungsrate von t=0 zu t=1 ansehen. Welche durchschnittliche Änderungsrate haben wir? Die Steigung unserer Sekante ist die Distanzveränderung dividiert durch unsere Zeitveränderung. Was ergibt das? Unsere Zeitveränderung ist 1 Sekunde. Ich schreibe die Einheit dazu. Welche Distanzveränderung haben wir? Bei t=0 oder d(0)=1 und d(1)=2. Unsere Distanz hat sich um 1 Meter vergrößert, also haben wir 1 Meter in 1 Sekunde zurückgelegt, oder wir könnten sagen, dass unsere durchschnittliche Änderungsrate in dieser ersten Sekunde von t=0 zu t=1 1 Meter pro Sekunde beträgt. Schauen wir uns an, welche Rate wir haben, wenn wir von t=2 zu t=3 gehen. Wir können uns wieder die Sekante anschauen, und ihre Steigung herausfinden. Du könntest auch die durchschnittliche Änderungsrate von t=2 zu t=3 verwenden. Wie ich bereits erwähnt habe, scheint sich die Änderungsrate ständig zu verändern, aber wir können uns die durchschnittliche Änderungsrate anschauen. Das ist also unsere Distanzveränderung dividiert durch unsere Zeitveränderung. Was ergibt das? Wenn t=2, ist unsere Distanz=5, 1, 2, 3, 4, 5. Hier haben wir also 5. Und wenn t=3 haben wir eine Distanz gleich 10. Also 10 hier drüben. Unsere Zeitveränderung ist offensichtlich, wir sind 1 Sekunde weiter gegangen, also 1 Sekunde, und unsere Distanzveränderung hier drüben, steigt von 5 auf 10 Meter, also ein Anstieg von 5 Metern. Das ergibt also 5 Meter pro Sekunde. Dadurch zeigt sich deutlich, dass sich unsere durchschnittliche Änderungsrate sich zwischen t=0 zu t=1 und t=2 zu t=3 verändert hat. Unsere durchschnittliche Änderungsrate ist im zweiten Intervall höher als im ersten. Es ist sehr interessant, darüber nachzudenken, was passieren würde, wenn du die Steigung der Sekante an immer enger zusammenliegenden Punkten untersuchen würdest. Dann würdest du der Steigung der Tangente immer näher kommen, und das ist etwas, was wir in Analysis machen werden.