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Beispielaufgabe: Durchschnittliche Änderungsrate aus einer Gleichung

Video-Transkript

y ist gleich 1/8 x hoch drei minus x hoch zwei. In welchem Intervall hat y von x eine durchschnittliche Änderungsrate von 1/2? Lass uns von Intervall zu Intervall gehen und die durchschnittliche Änderungsrate berechnen. Lass uns zunächst dieses Intervall hier anschauen. In diesem Intervall hat x einen Wert zwischen minus zwei und zwei. Minus zwei ist kleiner als x und x ist kleiner als zwei. Die Frage ist also: Was ist der Wert unserer Funktion, wenn x gleich minus zwei ist? Also y von minus zwei ist gleich 1/8 mal minus zwei hoch drei minus minus zwei hoch zwei, was gleich - mal sehen, minus zwei hoch drei ist gleich minus acht. Minus acht durch acht ist gleich minus eins. Minus zwei hoch zwei ist vier, aber dann musst du das substrahieren, also ist es minus vier. Also ist das gleich minus fünf. Und y von zwei ist gleich 1/8 mal 2 hoch drei minus zwei hoch zwei. Und 1/8 mal acht ist eins minus vier, was minus drei ergibt. Wenn du also die durchschnittliche Änderungsrate finden willst, musst du herausfinden, um wie viel der Wert deiner Funktion sich verändert, und das durch den Wert teilen, um den sich dein x verändert hat. Also könnten wir eine Tabelle erstellen. x, y. Wenn x gleich minus zwei ist, ist y gleich minus fünf. Wenn x gleich zwei ist, ist y gleich minus drei. Um was hat sich dein y verändert? Dein y hat sich um zwei erhöht, und dein x um vier. Und du könntest es so betrachten, dass sich y von diesem Punkt zu diesem Punkt vergrößert hat, und sich x von diesem zu diesem Punkt vergrößert hat. Oder du könntest sagen, minus drei minus minus fünf ist gleich zwei. Das ist die Differenz zwischen minus drei und minus fünf. Wenn du sagst 2 minus minus vier, dann bekommst du wieder die Distanz, oder die Differenz. Du würdest vier bekommen. Aber wenn du das betrachtest, ist es klar. Als y sich um zwei erhöhte - Oder als x sich um vier erhöhte, erhöhte sich y um zwei. Unsere durchschnittliche Änderungsrate in diesem Intervall wird die durchschnittliche Änderungsrate von y, was x anbelangt, sein. x hat sich um plus vier verändert, y um plus zwei. Also ist unsere durchschnittliche Änderungsrate gleich 1/2. Es sieht so aus, als ob die durchschnittliche Änderungsrate in diesem Intervall hier 1/2 ist. In dieser Situation hatten wir Glück, unsere erste Wahl - und das ist eine multiple Wahl, wir müssen nicht mehrere markieren. Unsere erste Wahl trifft bereits das geforderte Kriterium. Also wissen wir, dass dies die Antwort ist. Aber lass mich eine der anderen bearbeiten, um dir zu zeigen, warum dies keine Antwort wäre. Lass uns unsere durchschnittliche Änderungsrate zwischen diesem und jenem Punkt finden. Ich nehme eine andere Farbe. Für diese nehme ich lila. Null ist kleiner als x, x ist kleiner als vier. Ich zeichne die Tabelle hier. x und y. Wenn x null ist, was ist dann y? Es wird 1/8 mal null minus null sein und y ist einfach null. Wenn x vier ist, was ist dann y? y wird - mal sehen, 1/8 sein - 1/8 mal vier hoch drei. Vier hoch drei ist 64. 1/8 von 64 ist acht. Das Ergebnis wird acht minus vier hoch zwei sein, also 16. Acht minus 16 ist gleich minus acht. Also nimmt hier x um vier zu, x hat sich um vier erhöht, was passierte mit y? y hat um acht abgenommen. Also ist die durchschnittliche Änderungsrate von y, was dieses x betrifft, y veränderte sich -- dieser griechische Buchstabe Delta ist eine Abkürzung für "Veränderung von". Meine Veränderung von y ist minus acht, wenn meine Veränderung von x vier ist. Hier ist die durchschnittliche Änderungsrate minus zwei. Sie ist negativ, weil x zunahm, während y abnahm. Im Durchschnitt nahm y um zwei ab, wenn x um eins zunahm. Daher kommt die negative zwei hier. Die durchschnittliche Änderungsrate ist eindeutig nicht 1/2. Das bestätigt, dass dies nicht die Antwort ist. Wir wissen, dass diese zwei anderen, und ich ermutige dich, es auszuprobieren, auch eine durchschnittliche Änderungsrate von etwas anderem als positiv 1/2 ergeben.