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Video-Transkript

In diesem Video möchte ich euch mit dem Begriff des Intervalls bekannt machen, und auch darüber nachdenken, wie wir ein Intervall darstellen können. und auch darüber nachdenken, wie wir ein Intervall darstellen können. Hier haben wir eine Zahlengerade. Lass uns annehmen, ich möchte über das Intervall sprechen, das auf der Zahlengerade von -3 bis 2 reicht. Es geht mir um dieses Intervall hier. Es geht mir um dieses Intervall hier. Alle Zahlen von -3 bis 2. Um genau zu sein, muss ich dazusagen: Schliesse ich -3 und 2 ein oder nicht? Schliesse ich -3 und 2 ein oder nicht? Oder vielleicht schliesse ich nur eins davon ein. Wenn ich -3 und 2 einschliesse, zeiche ich ausgefüllte Kreise. Wenn ich -3 und 2 einschliesse, zeiche ich ausgefüllte Kreise. Wenn ich -3 und 2 einschliesse, zeiche ich ausgefüllte Kreise. -3 und 2 sind Teil des Intervalls. -3 und 2 sind Teil des Intervalls. Wenn du die Endpunkte einschliesst, nennt man das ein abgeschlossenes Intervall. Abgeschlossenes Intervall. Ich hab dir gerade gezeigt, wie ich das auf einer Zahlengerade darstellen kann, indem ich die Endpunkte ausfülle. Man kann ein Intervall auf mehrere Arten mathematisch beschreiben. Man kann ein Intervall auf mehrere Arten mathematisch beschreiben. Man kann ein Intervall auf mehrere Arten mathematisch beschreiben. Lass uns annehmen, diese Zahlengerade zeigt verschiedene Werte für x. Ich könnte sagen, dass das Intervall alle x sind, die zwischen -3 und 2 liegen. Ich könnte sagen, dass das Intervall alle x sind, die zwischen -3 und 2 liegen. Und beachte, ich hab hier -3 ist kleiner-gleich x. Damit wissen wir, dass x gleich -3 sein könnte. Damit wissen wir, dass x gleich -3 sein könnte. Und dann haben wir x ist kleiner oder gleich 2, das heisst, x könnte gleich 2 sein. Dadurch ist das ein abgeschlossenes Intervall. Eine andere Art, dieses abgeschlossene Intervall darzustellen, ist mit Klammern. Eine andere Art, dieses abgeschlossene Intervall darzustellen, ist mit Klammern. Für ein abgeschlossenes Intervall verwenden wir eckige Klammern. Für ein abgeschlossenes Intervall verwenden wir eckige Klammern. Das abgeschlossenen Intervall zwischen -3 und 2. Die eckigen Klammern bedeuten, dass die Endpunkte eingeschlossen sind. Die Klammer links sagt uns, dass wir -3 einschliessen. Die Klammer links sagt uns, dass wir -3 einschliessen. Die Klammer rechts sagt uns, dass wir 2 in unserem Intervall einschliessen. Manchmal siehst du das vielleicht ein wenig mehr mathematisch dargestellt: Manchmal siehst du das vielleicht ein wenig mehr mathematisch dargestellt: x ist ein Element der reellen Zahlen, sodass -- Dann mache ich geschwungene Klammern um das Ganze. Geschwungene Klammern bedeuten, dass wir über eine Menge von Werten sprechen. Geschwungene Klammern bedeuten, dass wir über eine Menge von Werten sprechen. Der Ausdruck bedeutet: Die Menge aller x, die ein Element der reellen Zahlen sind Der Ausdruck bedeutet: Die Menge aller x, die ein Element der reellen Zahlen sind das hier ist nur ein mathematischer Ausdruck. x ist ein Element der reellen Zahlen. Ich verwende hier den griechischen Buchstaben Epsilon. Es ist ein Element der reellen Zahlen, das folgende Bedingung erfüllt. Diese vertikale Linie hier bedeutet "sodass". -3 ist kleiner oder gleich x ist kleiner oder gleich 2 . -3 ist kleiner oder gleich x ist kleiner oder gleich 2 . -3 ist kleiner oder gleich x ist kleiner oder gleich 2 . Ich kann das auch so schreiben. x ist ein Element der reellen Zahlen, das die Bedingung erfüllt, ein Element dieser abgeschlossenen Intervalls zu sein. das die Bedingung erfüllt, ein Element dieser abgeschlossenen Intervalls zu sein. Das sind alles mögliche Wege, um das selbe Intervall darzustellen. Das sind alles mögliche Wege, um das selbe Intervall darzustellen. Machen wir noch einige Intervalle. Ich zeichne noch einmal eine Zahlengerade. Ich zeichne noch einmal eine Zahlengerade. Jetzt zeichnen wir ein offenes Intervall, damit wir den Unterschied sehen können. Jetzt zeichnen wir ein offenes Intervall, damit wir den Unterschied sehen können. Jetzt zeichnen wir ein offenes Intervall, damit wir den Unterschied sehen können. Diesmal nehmen wir die Werte zwischen -1 und 4, Diesmal nehmen wir die Werte zwischen -1 und 4, Diesmal nehmen wir die Werte zwischen -1 und 4, Diesmal nehmen wir die Werte zwischen -1 und 4, aber ohne -1 und 4. Es ist also ein offenes Intervall. Ich schliesse weder 4 noch -1 ein. Ich schliesse weder 4 noch -1 ein. Deshalb fülle ich meine Kreise nicht aus. Oben waren ausgefüllte Kreise, das bedeutet, dass ich -3 und 2 einbezogen hatte. Jetzt habe ich nicht ausgefüllte Kreise, also sind es lediglich alle Werte zwischen -1 und 4. - 0,999999 ist eingeschlossen, aber -1 nicht. Und 3,9999999 ist eingeschlossen, aber 4 nicht. Wie würden wir das darstellen? Wie würden wir das darstellen? Wir könnten sagen, x ist ein Element der reellen Zahlen, das die Bedingung erfüllt: -1 kleiner als x -- ich sage hier nicht kleiner oder gleich -- -1 kleiner als x -- ich sage hier nicht kleiner oder gleich -- -1 kleiner als x -- ich sage hier nicht kleiner oder gleich -- und x ist kleiner als 4. Beachte, nicht kleiner-gleich, denn es kann nicht gleich 4 sein, 4 ist nicht eingeschlossen. Das ist eine Möglichkeit es darzustellen. Eine andere Möglichkeit wäre, x ist ein Element der reellen Zahlen, das die Bedingung erfüllt x ist ein Element von ... Nun, das Intervall ist von -1 bis 4 aber ich nehme nicht diese eckigen Klammern. Eckige Klammern sagen "Hey, lass mich die Endpunkte mit einbeziehen.", aber ich schliesse sie nicht ein, somit verwende ich hier die runden Klammern. Runde Klammern. Also das hier sagt uns, dass es sich um ein offenes Intervall handelt. Das hier ist ein offenes Intervall. Das hier ist ein offenes Intervall. Jetzt fragst du dich vielleicht, okay, in diesem Fall waren beide Endpunkte eingeschlossen, und es ist ein abgeschlossenes Intervall. In dem Fall waren beide Endpunkte ausgeschlossen, und es ist ein offenes Intervall. Kann es sein, dass ein Endpunkt eingeschlossen und ein anderer ausgeschlossen ist? Absolut. Lass uns ein solches Beispiel anschauen. Ich zeichne hier eine weitere Zahlengerade. Ich zeichne hier eine weitere Zahlengerade. Lass es mich erst aufschreiben, dann zeichnen. Lass es mich erst aufschreiben, dann zeichnen. Wir meinen alle x, die ein Element der reellen Zahlen sind und die Bedingung erfüllen: sagen wir, 4 ist nicht eingeschlossen, so -4 ist kleiner x, ist kleiner oder gleich -1. Damit ist -1 eingeschlossen. Aber -4 nicht. -4 ist kleiner als nicht kleiner-gleich, x kann also nicht gleich -4 sein. Der Punkt bleibt unausgefüllt. Aber x könnte gleich -1 sein. Es muss kleiner oder gleich -1 sein. Es könnte gleich -1 sein, somit fülle ich den Punkt hier aus. Und es ist alles dazwischen. In der Schreibweise rechts wäre das: x ist ein Element der reellen Zahlen, das die Bedingung erfüllt, x ist ein Element des Intervalls zwischen -4 und -1. Aber -4 ist nicht eingeschlossen. Der Punkt hier ist nicht ausgefüllt. Also setze ich eine runde Klammer auf dieser Seite, aber wir schliessen -1 ein. aber wir schliessen -1 ein. Somit nehmen wir die eckige Klammer hier. Das hier wäre die Schreibweise. Nun, man kann auch andere Dinge mit der Intervallschreibweise anstellen. Nun, man kann auch andere Dinge mit der Intervallschreibweise anstellen. Man könnte sagen, hey, alles außer ein paar Zahlen. Lass mich noch ein weiteres Beispiel zeigen. Lass mich noch ein weiteres Beispiel zeigen. Angenommen, wir sprechen über alle reellen Zahlen, ausser 1. Wir wollen alle reellen Zahlen einschliessen. Alle, ausser 1. Um 1 herum machen wir einen nicht ausgefüllten Kreis. Um 1 herum machen wir einen nicht ausgefüllten Kreis. Wie würden wir das schreiben? Nun, wir könnten schreiben, x ist ein Element der reellen Zahlen, das die Bedingung erfüllt, x ist nicht gleich 1. Ich sage, x kann ein Element der reellen Zahlen sein, aber x kann nicht gleich 1 sein. Es kann jede andere Zahl sein, aber nicht 1. Und es gibt andere Wege, das hier aufzuschreiben. Du könntest sagen, x ist ein Element der reellen Zahlen, das die Bedingung erfüllt, x ist kleiner als 1, oder x ist größer als 1. Genau so könnte man das schreiben. Oder du könntest was Interessantes tun. Ich würde diese hier benutzen, es ist die kürzeste und es ist sehr einfach zu verstehen. Du sagst, hey, alles aus 1. Aber du könntest auch etwas schickes tun wie, x ist ein Element der reellen Zahlen, das die Bedingung erfüllt, x ist ein Element der Menge die von minus unendlich bis 1 geht, ohne 1, oder x ist ein Element der Menge von ohne 1, oder x ist ein Element der Menge von 1 ohne 1, bis plus unendlich, bis plus unendlich. Und wenn wir von minus unendlich oder plus unendlich sprechen, verwenden wir immer runde Klammern. Die Ansicht ist, dass man niemals alles bis unendlich einschliessen könnte. Die Ansicht ist, dass man niemals alles bis unendlich einschliessen könnte. Es muss zumindest am Endpunkt offen sein, denn unendlich geht immer weiter. Wenn du also über plus oder minus unendlich sprichst, musst du immer runde Klammern verwenden. Wenn du also über plus oder minus unendlich sprichst, musst du immer runde Klammern verwenden. Es handelt sich nicht wirklich um einen Endpunkt, es geht immer weiter. Deshalb verwendest du die Schreibweise für ein offenes Intervall, zumindest an diesem Ende und beachte, wir schliessen keiner der beiden ein, somit, wenn x ein Element dieses oder dieses Intervalls ist, könnte es alles ausser 1 sein. Aber das hier wäre die einfachste Schreibweise, um das darzustellen.