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Video-Transkript

Wiederholen wir kurz, was man unter einer Funktion versteht, bevor wir lernen was der Definitionsbereich einer Funktion ist. bevor wir lernen was der Definitionsbereich einer Funktion ist. Ich setzte eine Funktion in diese Box und für einen Eingangswert x wird ein Ergebnis generiert, das wir f von x nennen. Haben wir zum Beispiel die Funktion f(x) ist gleich 2 über x ist gleich 2 über x Setzen wir nun für x = 3 ein Setzen wir nun für x = 3 ein So wird unser Ergebnis gleich 2 über 3 sein gleich 2 über 3 sein Für diesen Einsatz, ist es also möglich ein Ergebnis zu errechnen. Angenommen unser Eingangswert wäre π Angenommen unser Eingangswert wäre π wenn x = π ist, dann ist die Funktion f(π) das ist gleich 2 über π. Wir schreiben 2/π. Das Ergebnis ist leicht zu finden. Machen wir nun mit Interessanterem weiter. Was passiert wenn, wir 0 in die Funktion einsetzen wollen? Was passiert wenn, wir 0 in die Funktion einsetzen wollen? Kann diese Definiton uns sagen, welches Ergebnis wir herauskriegen dürfen? Nehmen wir x = 0 an, dann würde diese Definition... f(0) = 2/0 2 über 0 ist jedoch nicht definiert. Diese Funktion sagt uns nichts darüber, was wir mit 0 machen sollen. Das Ergebnis ist nicht definiert. Diese Funktion ist für 0 undefiniert. Das gibt ein Fragezeichen. Das ist der wesentliche Bestandteil, was ein Definitionsbereich ist. Der Definitionsbereich ist die Menge alle Eingangswerte, für die eine Funktion definiert ist. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist somit alle reellen Zahlen, ausgenommen x = 0. Notieren wir diese Gedanken. Der Definitionsbereich einer Funktion Der Definitionsbereich einer Funktion Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller Eingangswerte für die eine Funktion definiert ist. Für die eine Funktion definiert ist oder für die eine Funktion definierte Ergebnisse hat. für die eine Funktion definierte Ergebnisse hat. Der Definitionsbereich für dieses f hier, Der Definitionsbereich für dieses f hier, um das auszudrücken nutze ich diese geschweifte Klammern. Die sind typisch in der Mathematik. Also, der Definitionsbereich kann sein: x ist ein Element Dieses Symbol bedeutet, x ist Element der rellene Zahlen. Aber es kann nicht jede reelle Zahl sein. x kann so ziemlich jede reelle Zahl sein, ausgenommen der 0. Es kann keine 0 sein, da die Funktion für diesen Einsatz nicht definiert ist. x ist also ein Element der reellen Zahlen Reelle Zahlen drückt man mit einem R und dem Doppelstrich aus. und nun notieren wir auch die Ausnahme x = 0 ist keine Element dieses Definitionsbereichs. x ist ungleich 0 Machen wir dies nun noch etwas konkreter mit mehr Beispielen. Je mehr wir machen, desto klarer wird das werden. Nehmen wir an, wir haben eine neue Funktion. Wir müssen nicht immer f's oder x's nutzen. Wir können auch sagen g(y) ist gleich die Wurzel aus y - 6. Welchen Definitionsbereich haben wir hier? Was ist die Menge aller Eingangswerte für die g definiert ist? Wir setzen y in die Funktion g ein, und kriegen g(y) heraus. g(y) ist definiert für alles, solange die Wurzel nicht negativ ist. Das heißt solange das Ergebnis unter der Wurzel positiv ist. Das heißt solange das Ergebnis unter der Wurzel positiv ist. Wenn die Wurzel negativ wird, so ist unser Wurzeloperator nicht definiert. Wenn die Wurzel negativ wird, so ist unser Wurzeloperator nicht definiert. Wie soll man die Wurzel einer negativen Zahl nehmen? Wir gehen davon aus, dass der Wurzeloperator ein ganz simpler ist. Also y - 6 muss größer oder gleich 0 sein damit die Funktion g für den Eingangswert y definiert ist. oder wenn wir auf beiden Seiten 6 addieren, dann muss y größer oder gleich 6 sein. g ist somit für alle Eingangswerte y, die größer oder gleich 6 sind, definiert. Der Definitionsbereich wäre hier: die Menge aller y's, die Elemente der reellen Zahlen sind, solange y größer oder gleich 6 ist. solange y größer oder gleich 6 ist. solange y größer oder gleich 6 ist. Hoffentlich macht das für euch langsam Sinn. Wir sind and Funktionen gewöhnt die so definiert sind. Du könntest aber auch exotische Funktionen sehen. Eine Funktion könnte so aussehen: nehmen wir h(x) h(x) könnte definiert sein als: h(x) ist 1, wenn x = π ist und sie ist 0, wenn x = 3 ist. Nun, was ist der Definitionsbereich hier? Stoppe hier das Video und denke darüber nach. Diese Funktion ist tatsächlich nur für zwei Eingangswerte definiert. Wir wissen: h(π), wenn der Eingangswert π ist, erhalten wir 1. Und ist der Eingangswert 3: h(3), wenn x = 3 ist, erhalten wir - machen wir ein paar Kommas hier - dann erhältst du 0. Gibst du aber etwas andere rein, Was ergibt h(4)? Dafür ist die Funktion h nicht definiert. Was ergibt h(1)? Auch das ist nicht definiert. Der Definitionsbereich hier, der Definitionsbereich für h, besteht buchstäblich aus nur zwei gültigen Eingangswerten, die wir für x einsetzten können. Das sind 3 und π. Das sind die einzigen gültigen Eingangswerte. Die einzigen Zahlen, für die die Funktion definiert ist. Ich hoffe das gibt dir einen guten Einblick, weshalb wir Definitionsbereiche brauchen. Nicht alle Funktionen sind definiert über alle reellen Zahlen. Einige haben nur einen kleine Teilmenge reeller Zahlen. Andere sind für ganzen Zahlen, natürlichen Zahlen positive oder negative Zahlen definiert. Haben also Ausnahmen. Je mehr Beispiele wir machen, desto klarer wird das.