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Bearbeitetes Beispiel: Definitionsbereich von algebraischen Funktionen

Video-Transkript

Machen wir noch einige Beispiele zum Definitionsbereich von Funktionen. Definieren wir eine Funktion g(x). Wenn wir einen input x nehmen, dann ist der output g(x) gleich 1 dividiert durch Wurzel 6 minus dem Betrag von x. 1 dividiert durch Wurzel 6 minus dem Betrag von x. 1 dividiert durch Wurzel 6 minus dem Betrag von x. 1 dividiert durch Wurzel 6 minus dem Betrag von x. Halte das Video an und überlege: wo liegt der Definitionsbereich der Funktion? Wo ist g(x) definiert? Was ist der Definitionsbereich von g(x)? Was ist der Definitionsbereich von g(x)? Was ist die Menge aller Werte für x, für die diese Funktion definiert ist? Es ist vielleicht einfacher zu fragen, wann diese Funktion nicht definiert ist. Es ist vielleicht einfacher zu fragen, wann diese Funktion nicht definiert ist. Es ist vielleicht einfacher zu fragen, wann diese Funktion nicht definiert ist. Wenn wir durch 0 dividieren, ist die Funktion nicht definiert. Oder wenn wir eine negative Zahl unter der Wurzel haben. Wenn die Zahl unter der Wurzel 0 oder kleiner als 0 ist-- Bei 0 -- die Wurzel aus 0 ist definiert, ist 0, aber dann dividierst du durch 0. Das ist undefiniert. Bei 0, die Wurzel aus 0 gilt, das ist 0, aber dann dividierst du durch 0. Das ist undefiniert. Und wenn du eine negative Zahl unter der Wurzel hast, ist die Wurzel nicht definiert, zumindest die Quadratwurzel nicht. Und wenn du eine negative Zahl unter der Wurzel hast, ist die Wurzel nicht definiert, zumindest die Quadratwurzel nicht. Wenn also 6 minus Betrag von x kleiner oder gleich 0 ist, dann ist das Ganze nicht definiert. Wenn also 6 minus Betrag von x kleiner oder gleich 0 ist, dann ist das Ganze nicht definiert. g(x) ist definiert, g(x) ist definiert, g(x) ist definiert, wenn und nur wenn wenn und nur wenn wenn und nur wenn 6 minus Betrag von x größer als 0 ist. 6 minus Betrag von x größer als 0 ist. x muss unbedingt größer als 0 sein. Wenn x genau 0 ist, ist die Funktion undefiniert, weil Division durch 0 undefiniert ist. Wenn x kleiner als 0 ist, ist die Funktion undefiniert, weil die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist. Wenn x kleiner als 0 ist, ist die Funktion undefiniert, weil die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist. g(x) ist also definiert, wenn und nur wenn das hier gegeben ist. Lösen wir das auf: Addieren wir den Betrag von x auf beiden Seiten. Lösen wir das auf: Addieren wir den Betrag von x auf beiden Seiten. Lösen wir das auf: Addieren wir den Betrag von x auf beiden Seiten. Bleibt 6 größer als Betrag von x oder Betrag von x kleiner als 6. oder Betrag von x kleiner als 6. Das kann man auch so sagen: x kleiner 6 und größer als -6. Oder x zwischen -6 und 6. Diese beiden Ausdrücke sind gleichwertig. Diese beiden Ausdrücke sind gleichwertig. In der Definitionsbereich-Schreibweise: Definitionsbereich von g sind alle x, die reelle Zahlen sind Definitionsbereich von g sind alle x, die reelle Zahlen sind Definitionsbereich von g sind alle x, die reelle Zahlen sind und für die gilt: -6 kleiner x kleiner 6. und für die gilt: -6 kleiner x kleiner 6. Machen wir noch ein schwierigeres, nur zum Spass. Machen wir noch ein schwierigeres, nur zum Spass. Sagen wir, h(x) ist gleich, und jetzt kommt eine mehrteilige Definition. Sagen wir, h(x) ist gleich, und jetzt kommt eine mehrteilige Definition. x plus 10 dividiert durch (x plus 10) mal (x minus 9) mal (x minus 5) Das soll h sein, wenn x ungleich 5 ist. Das soll h sein, wenn x ungleich 5 ist. Das soll h sein, wenn x ungleich 5 ist. Und h ist gleich pi, wenn x gleich 5 ist. Und h ist gleich pi, wenn x gleich 5 ist. Überlege, was der Definitionsbereich ist. Oder, wo ist h nicht definiert? Was muss passieren, damit h nicht definiert ist? Wenn x nicht gleich 5 ist, haben wir den oberen Ausdruck, wenn x gleich 5 ist, gehen wir zum unteren. Was muss passieren, damit das obere Ding undefiniert ist? Das offensichtlichste wäre, wenn wir durch 0 dividierten. Wann würden wir durch 0 dividieren? Das würde passieren, wenn x gleich 9 wäre. Das würde passieren, wenn x gleich 9 wäre. Das würde passieren, wenn x gleich 9 wäre. Das würde passieren, wenn x gleich 9 wäre. Das würde auch passieren, wenn x gleich minus 10 wäre. Das würde auch passieren, wenn x gleich minus 10 wäre. Jetzt müssen wir aufpassen: wenn nur die obere Definition hier wäre, würde es auch passieren, wenn x gleich 5 wäre. Aber wenn x gleich 5 ist, dann gilt dieser Teil der Definition nicht. Aber wenn x gleich 5 ist, dann gilt dieser Teil der Definition nicht. Wenn x gleich 5 ist, schauen wir hier gar nicht hin. Wenn x gleich 5 ist, schauen wir hier gar nicht hin. Wenn x gleich 5 ist, verwenden wir den unteren Teil der Definition. Division durch 0 kann nur im oberen Teil der Definition passieren. Division durch 0 kann nur im oberen Teil der Definition passieren. Division durch 0 kann nur im oberen Teil der Definition passieren. Division durch 0 kann nur im oberen Teil der Definition passieren. Division durch 0, wenn x gleich 9 oder x gleich -10. Sonst nichts. Wenn der untere Teil nicht wäre, würdest du auch x=5 schreiben. Jetzt sind wir fast fertig. Fehlt noch etwas? Kann ich das nicht vereinfachen? Ich habe doch (x + 10) im Zähler und im Nenner. Das ginge schon, nur würdest du dann die Definition von h ändern. Wenn du das wegstreichst, bleibt 1 dividiert durch (x minus 9) mal (x plus 5). Das ist eine andere Funktion. Die wäre sogar definiert bei x gleich -10. Die ursprüngliche ist bei x gleich -10 nicht definiert. Die ursprüngliche ist bei x gleich -10 nicht definiert. Die ursprüngliche ist bei x gleich -10 nicht definiert. Diese Funktion, genau wie sie hier steht, ist also nicht definiert, wenn x gleich 9 oder x gleich-10. Diese Funktion, genau wie sie hier steht, ist also nicht definiert, wenn x gleich 9 oder x gleich-10. In unserer tollen Definitionsbereich-Schreibweise: Definitionsbereich sind alle x aus den reellen Zahlen, für die x ungleich 9 und x ungleich -10. für die x ungleich 9 und x ungleich -10. Jede andere reelle Zahl ist in Ordnung, einschliesslich 5. h von 5 ist gleich pi, weil dieser Teil gilt. h von 5 ist gleich pi, weil dieser Teil gilt. Wenn x gleich 9, würdest du durch 0 dividieren. Wenn x gleich -10, würdest du durch 0 dividieren. Für alles andere existiert die Funktion. Das hier ist also der Definitionsbereich.