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Bearbeitetes Beispiel: Textaufgaben zum Bestimmen des Definitionsbereichs (alle ganze Zahlen)

Video-Transkript

Das hier ist ein Screenshot von einer Khan Academy Übung, die sagt, "Mason steht auf der 5ten Stufe einer vertikalen Leiter. Die Leiter hat 15 Stufen. Der Höhenunterschied zwischen benachbarten Stufen ist 0,5 Meter. Er denkt darüber nach hoch oder runter zu gehen oder zu bleiben." Lass mich die Leiter von Mason zeichnen. Es ist eine vertikale Leiter. Das ist die eine Seite der Leiter und das die andere, und sie hat 15 Stufen. Lass mal sehen ob ich sie zeichnen kann. Das ist die erste, zweite, dritte, vierte. Mir fehlt Platz. Ich muss sie näher zusammen zeichnen. Das ist die erste, zweite, dritte, vierte, fünfte, sechste, siebte, achte, neunte, zehnte, elfte, zwölfte, dreizehnte, vierzehnte und fünfzehnte. 15 Stufen. Sie sollten eben sein. Oben und unten, und der Abstand zwischen den einzelnen - man kann sagen die Stufen der Leiter sind einen halben Meter auseinander - also ist der Abstand hier 0,5 Meter. Und hier steht, er steht auf der 5ten Stufe der vertikalen Leiter. Er ist auf der 5ten Stufe. eins, zwei, drei, vier, fünf. Hier ist er genau jetzt. Er ist auf der 5ten Stufe. Und er überlegt hoch zu gehen, oder runter oder stehen zu bleiben. "h(n) ist die Höhe über dem Boden h von Masons Füßen (in Meter) nach n Schritte (wenn Mason die Leiter runter geht ist n negativ)." Nun gut, h(n). Bestimme die Höhe über dem Boden nach n Schritten. Versuchen wir das zu verstehen. Wenn ich sage h(0) was bedeutet das dann? h(0) bedeutet, dass er null Schritte gemacht hat. Er machte null Schritte. Er steht immer noch auf der 5ten Stufe der Leiter. Wie hoch ist er also? Wenn er auf der 5ten Stufe der vertikalen Leiter steht. Ich nehmen an das ist 0,5 Meter vom Boden entfernt. Das ist der Boden hier. Er ist eins, zwei, drei, vier, fünf Schritte, jeder davon ist einen halben Meter. 5 * 0,5 ergibt 2,5 Meter. Damit ist h(0) = 2,5 Meter. Sage ich h(1) heisst das, er geht hoch. h(1) bedeutet er macht einen Schritt hoch. Hier wäre n = 1. Geht er einen Schritt hoch, h(1), ist er einen halben Meter höher. Dann ergibt das 3 Meter. Das könnten wir für viele Werte wiederholen. Ich schreibe das mal hin. Das ergibt 3 Meter. Trotzdem ist das nicht die Frage gewesen. Die Frage lautet: "Welcher Zahlentyp ist angemessener als Bereich der Funktion?" Wie besprochen ist der Bereich eine Menge von Zahlen für die Funktion, um ein gültiges Ergebnis zu erhalten. Wir müssen hier zwischen Ganzzahlen und reelle Zahlen wählen. n, unser Eingangswert, das ist die Anzahl an Schritten hoch oder runter, kann positiv oder negativ sein. Aber wir reden nicht von halben Schritten. Er würde seinen Fuß in die Luft hier setzen. Er muss ganzzahlige Schritte hoch oder runter nehmen. Und die Schritte sind nach oben positiv und nach unten negativ, bei null bleibt er stehen. Ist n = 0 bleibt er stehen. Es sind keine reelle Zahlen Er kann keine Pi Schritte gehen. Er kann keine Quadratwurzel von 2 Schritten machen. Er kann nicht mal 0,25 Schritte machen. Er würde in die Luft treten. Definitiv werden es Ganzzahlen sein. Keine reellen Zahlen. Diese Funktion hat als gültige Werte Ganzzahlen. Tatsächlich sind es nicht mal alle Ganzzahlen. Er kann keine beliebige Anzahl an Stufen runter gehen. Und auch nicht nach oben. Der Wertebereich ist eine Untermenge von Ganzzahlen. Es heisst weiter: "Bestimme das Intervall des Bereichs" Wir haben die kleinen Bedienflächen hier um das Intervall zu bestimmen. Der niedrigste Wert für n, er kann eins, zwei, drei vier, fünf Schritte runter gehen. In diesem Fall ist n = -5. Und der höchste Wert für n ist wenn er eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, zehn Schritte hoch geht. Dann wäre n = 10. Der Intervall des Bereichs, - das hab ich nur auf meine Zeichenfläche kopiert - n kann zwischen -5 und +10 sein. und es kann die Grenzwerte annehmen. Deshalb benutze ich eckige Klammern. Mein Bereich würde also -5 beinhalten. Wenn nicht wären es runde Klammern. Hier ist es aber eine eckige Klammer. und auch hier eine eckige Klammer. Nur zum Spass gebe ich das nun in die Aufgabe ein. Hier sage ich Ganzzahl, und der Mininmalwert Ich kann fünf Schritte runter gehen, und zehn nach oben. und zehn ist auch innerhalb meines Intervalls. Ich prüfe die Antwort und sie ist richtig.