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Einführung in stückweise definierte Funktionen

Video-Transkript

Inzwischen sind wir es gewohnt Gleichungen wie h(y)=y^2 oder f(x)=sqrt(x) zu sehen. Was wir uns jedoch nun anschauen werden sind Gleichungen, die schrittweise über verschiedene Intervalle definiert sind. Gleichungen wie diese werden manchmal als stückweise definiert bezeichnet, oder diese Art der Gleichungsdefinition könnte stückweise genannt werden. Werfen wir einen Blick auf das Diagramm. In diesem Diagramm kann man sehen, dass die Gleichung konstant ist über diesen Intervall, dann sprungartig ansteigt und anschließend wieder nach unten springt. Lasst uns darüber nachdenken, wie wir dies in Form einer Funktionsgleichung schreiben können. Sagen wir das hier sei die X-Achse und das hier die Y-Achse. Unsere Funktion f(x) müssen wir also für drei verschiedene Intervalle definieren. Unsere Funktion f(x) müssen wir also für drei verschiedene Intervalle definieren. Erlaubt mir, mir etwas Platz zu verschaffen für diese drei Intervalle. Der erste Intervall beginnt bei -9, diese nicht einschließend, was dieser geöffnete Kreis aussagt. Es handelt sich um keinen geschlossenen Kreis. Also -9 nicht mit inbegriffen, alle x größer als -9 bis hin zu einschließlich -5. Ich könnte auch schreiben, dass -9 kleiner als x ist, welches kleiner gleich -5 ist. Das ist dieses Intervall, und wie lautet der Wert der Gleichung in diesem Intervall? Man sieht, dass der Wert -9 ist. Eine konstante -9 über diesen Intervall. Es ist etwas verwirrend, da der Wert der Gleichung gleichzeitig der Wert der Untergrenze des Intervalls ist. Es ist sehr wichtig zu verstehen, dass dies aussagt, dass -9 kleiner als x ist, nicht kleiner gleich. Stünde hier kleiner gleich, würde die Gleichung bei x = -9 definiert worden sein, was nicht der Fall ist. Wir haben dort einen geöffneten Kreis. Betrachten wir nun den nächsten Intervall. Dieser geht von -5, diese nicht einschließend, zu x kleiner gleich -1. Über diesen intervall ist die Gleichung gleich dem konstanten Wert 6. Es folgt ein Sprung. So etwas wird manchmal als eine Treppenfunktion bezeichnet. Zu einem gewissen Grad ähnelt sie einer Treppe. Es ist sehr wichtig, dass x gleich -5 an nur einer Stelle definiert ist. Hier wird es durch diesen Abschnitt definiert. Es ist nur hier definiert. Darum ist es wichtig, dass hier nicht kleiner gleich -5 steht. Denn falls du -5 in die Gleichung einfügen würdest, wäre dieses Ding hier ausgefüllt, und die Gleichung wäre an beiden Stellen definiert, was absolut uncool für eine Gleichung ist, da sie dann keine Gleichung mehr wäre. Daher ist es sehr wichtig, dass du, wenn du hier -5 einsetzt, weißt, in welchem Intervall du dich befindest. Man kann nicht in zwei von ihnen gleichzeitig sein. Falls du in zwei Intervallen wärest, sollten dir beide denselben Wert liefern damit die Gleichung einem Argument einen Wert zuordnet. Also fahren wir fort. In diesen letzten Intervall gehen wir von -1 bis 9. Von -1 bis +9. Wobei -1 kleiner als x ist, was man an diesen geöffneten Kreis erkennen kann und das ist gut so, da x = -1 hier oben definiert wurde, bis hin zu x ist kleiner gleich 9. Was ist der Wert der Gleichung über diesen Intervall? Man sieht der Wert unserer Gleichung ist eine konstante -7. Eine konstante -7, und das wars. Wir haben soeben eine stückweise Definition dieser Gleichung vorgenommen. Und wenn du eine derartige Schreibweise siehst, wird es um einiges klarer, warum eine Schreibweise für Gleichungen überhaupt nützlich ist. Hoffentlich hat dir das gefallen. Ich finde solche Treppenfunktionen stets äußerst unterhaltsam.