Schnittpunkte von y=sin(x) und y=cos(x)

Die Frage lautet: An wie vielen Stellen schneiden sich die Graphen von y = sin Θ und y = cos Θ für 0 ≤ Θ ≤ 2π? 0 ist also kleiner-gleich Θ und Θ ist kleiner-gleich 2π. Also sind 0 und 2π mögliche Werte für Θ. Ich habe eine kleine Tabelle mit Θ, cos Θ und sin Θ erstellt. Wir verwenden sie und den Einheitskreis, um herauszufinden, wie die Graphen von y = sin Θ und y = cos Θ aussehen. Und dann überlegen wir, wie oft sie sich schneiden, und wo genau sie sich schneiden. Legen wir los. Zum Verständnis: Das ist der Einheitskreis. Das ist die x-Achse. Das ist die y-Achse. Hier drüben werden wir diese beiden Graphen zeichnen. Das ist also die y-Achse. Und wir haben eine Funktion von Θ, nicht x, auf der horizontalen Achse. Zuerst überlegen wir, was passiert, wenn Θ = 0 ist. Wenn Θ = 0 ist, sind wir bei diesem Punkt hier. Wir sind bei diesem Punkt auf dem Einheitskreis. Welche Koordinate ist das? Es ist der Punkt (1|0). Davon ausgehend, was ergibt cos Θ, wenn Θ = 0 ist? cos Θ = 1 und sin Θ = 0. Das ist die x-Koordinate an dem Schnittpunkt mit dem Einheitskreis. Das ist die y-Koordinate. Wie ist es bei π/2? Das ist hier drüben. Welche Koordinate ist das? Jetzt ist x = 0 und y = 1. Davon ausgehend ist cos Θ = 0. Und was ist sin Θ? Es ist 1. Das ist die y-Koordinate hier drüben. Jetzt kommen wir zu π. Wir befinden uns an diesem Punkt im Einheitskreis. Welche Koordinate ist das? Es ist (-1|0). Was ergibt also cos Θ? Welche x-Koordinate haben wir? Wir haben -1. Und sin Θ ist die y-Koordinate, nämlich 0. Jetzt kommen wir zu 3π/2. Welche Koordinate haben wir? Wir haben (0|-1). cos Θ ist hier die x-Koordinate. cos Θ ist also 0. Und was ergibt sin Θ? Es ergibt -1. Jetzt kommen wir wieder zu 2π zurück, was eine vollständige Umrundung des Kreises bedeutet. Wir sind den ganzen Weg herum gegangen, und wieder bei diesem Punkt hier angekommen. Die Koordinate ist die exakt selbe, wie wenn der Winkel gleich 0 Bogenmaß hat. Was ist also cos Θ? Es ist 1. Und sin Θ ist 0. Und mit diesem Wissen können wir eine grobe Zeichnung erstellen, und über mögliche Schnittpunkte nachdenken. Beginnen wir mit cos Θ. Ich beschrifte zuerst die Achse. Hier haben wir y = 1. Hier haben wir y = -1. Wir haben y = cos Θ. Wenn Θ = 0 ist, dann ist cos Θ = 1. Wenn Θ = π/2 ist, dann ist cos Θ = 0. Wenn Θ = π ist, dann ist cos Θ = -1. Wenn Θ = 3π/2 ist, dann ist cos Θ = 0. Das ist hier drüben. Und wenn Θ = 2π ist, dann ist cos Θ wieder 1. Und die Kurve sieht ungefähr so aus. Ich gebe mein Bestes, sie geschwungen zu zeichnen. Sie sieht ungefähr so aus. Das Aussehen dieser Kurve sollte dir mittlerweile bekannt vorkommen. Das ist der Graph von y = cos Θ. Jetzt machen wir dasselbe für sin Θ. Wenn Θ = 0 ist, dann ist sin Θ = 0. Wenn Θ = π/2 ist, dann ist sin Θ = 1. Wenn Θ = π ist, dann ist sin Θ = 0. Wenn Θ = 3π/2 ist, dann ist sin Θ = -1. Wenn Θ = 2π ist, dann ist sin Θ = 0. Der Graph von sin Θ sieht also ungefähr so aus. Besser kann ich nicht zeichnen. Jetzt können wir graphisch über die Frage nachdenken. An wie vielen Punkten schneiden sich die Graphen von y = sin Θ und y = cos Θ für diese Zielmenge von Θ? Die Zielmenge ist 0 ≤ Θ ≤ 2π, inklusive dieser beiden Punkte. Du schaust dir einfach den Graphen an. Du siehst, dass es zwei Schnittpunkte gibt. An dieser Stelle und an dieser Stelle hier drüben. Nur zwischen 0 und 2π. Das sind zyklische Graphen. Wenn wir weitermachen würden, würden sie sich immer weiter schneiden. Aber wenn wir nur diese Zielmenge von 2π für Θ betrachten, erhalten wir zwei Schnittpunkte. Jetzt überlegen wir, welche Punkte das sind, da es so aussieht, als wären sie sehr nahe an 0 und π/2, und genau zwischen π und 3π/2. Wir betrachten unseren Einheitskreis, um herauszufinden, welche Werte das sind. Es sieht aus, als wäre das bei π/4. Überprüfen wir, ob das stimmt. Wir überlegen, welche Werte wir bei π/4 haben. π/4 ist dieser Winkel. Das hier ist π/4. π/4 ist exakt dasselbe wie ein 45-Grad-Winkel. Also betrachten wir π/4 hier drüben. Wir wollen die Koordinaten dieses Punktes herausfinden. Wir verwandeln das in ein rechtwinkliges Dreieck. Was wissen wir über dieses rechtwinklige Dreieck? Ich zeichne es hier drüben, damit es deutlicher wird. Das ist ein typisches rechtwinkliges Dreieck. Es ist immer gut, das zu üben. Ich zeichne es mal. Wir wissen, dass es ein rechtwinkliges Dreieck ist. Wir wissen, dass dieser Winkel 45 Grad hat. Welche Länge hat die Hypotenuse? Das ist ein Einheitskreis und er hat einen Radius von 1. Die Länge unserer Hypotenuse hier ist also 1. Was wissen wir über diesen Winkel hier? Wir wissen, dass er ebenfalls 45 Grad haben muss, weil alle Winkel summiert 180 Grad ergeben müssen. Und da diese beiden Winkel gleich sind, wissen wir, dass diese beiden Seiten gleich sind. Und dann können wir den Satz des Pythagoras verwenden, um die Länge dieser Seiten herauszufinden. Mithilfe des Satz des Pythagoras, und dem Wissen, dass diese beiden Seiten gleich sind, welche Länge haben diese Seiten dann? Wenn diese Länge a ist, dann ist das ebenfalls Länge a. Und wir können den Satz des Pythagoras anwenden. Wir rechnen a² + a² = 1, 1 ist das Quadrat der Hypotenuse. Wir können auch 2a² = 1 schreiben, dann erhalten wir a² = 1/2, wir ziehen die Quadratwurzel beider Seiten und erhalten a = 1/√2. Wir können den Nenner rational machen, indem wir mit √2/√2 multiplizieren, und dadurch a = √2/2 erhalten. Die Länge ist also √2/2 und diese Länge auch. Diese Länge hier ist also √2/2. Und diese Höhe hier ist ebenfalls √2/2. Welche Koordinate ist das also? Es ist √2/2 in die rechte, also die positive Richtung. x ist also √2/2. Und y ist gleich √2/2 in die obere, vertikale Richtung. Also ist es ebenfalls √2/2. cos Θ ist einfach nur die x-Koordinate. Also ist es √2/2. Sin Θ ist einfach nur die y-Koordinate. Du siehst also sofort, dass sie an diesem Punkt gleich sind. An diesem Punkt sind sie beide √2/2. Was ist mit diesem Punkt hier drüben, der aussieht, als läge er zwischen π und 3π/2? Hier ist π, hier ist 3π/2. Da drüben ist es. Also haben wir nochmal π/4 + π. Also ist π + π/4 dasselbe wie 4π/4 + π/4. Das ist also der Winkel 5π/4. Das wollen wir herausfinden. Welche Werte haben diese Funktionen bei Θ = 5π/4? Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten. Du könntest sogar Geometrie anwenden, denn du hast hier einen 45-Grad-Winkel, und deshalb muss das hier ebenfalls ein 45-Grad-Winkel sein. Man könnte sagen, dass der Referenzwinkel 45 Grad hat. Und wir könnten etwas Ähnliches machen. Wir zeichnen ein rechtwinkliges Dreieck. Wir wissen, dass die Hypotenuse gleich 1 ist. Wir wissen, dass das ein rechter Winkel ist, und das hier 45 Grad hat und das hier deshalb ebenfalls 45 Grad haben muss. Und wir haben ein sehr ähnliches Dreieck. Sie sind kongruente Dreiecke. Die Hypotenuse ist 1, das ist 45 und das 90. Wir wissen, dass die Länge dieser Seite √2/2 ist, und die Länge dieser Seite √2/2. Dieselbe Logik wie hier. Was ist also die Koordinate dieses Punkts? Beginnen wir beim x-Wert. Er ist √2/2 in die negative Richtung. Wir müssen also √2/2 in die Richtung links vom Ursprung gehen. Wir haben also -√2/2. Dieser Punkt auf der x-Achse ist also -√2/2. Wie lautet die y-Koordinate? Wir müssen √2/2 vom Ursprung aus nach unten gehen. Also haben wir -√2/2. cos Θ ist also -√2/2. Und sin Θ ist ebenfalls -√2/2. Und wir sehen, dass wir hier tatsächlich denselben Wert für cos Θ und sin Θ haben. Sie ergeben beide -√2/2.