Lösungen von Gleichungssystemen: konsistent vs. inkonsistent

Ist das lineare Gleichungssystem unten konsistent oder inkonsistent? Wir haben x plus 2y ist gleich 13 und 3x minus y ist gleich -11. Für die Antwort müssen wir wissen, was konsistent und inkonsistent bedeuten. Für die Antwort müssen wir wissen, was konsistent und inkonsistent bedeuten. Ein konsistentes Gleichungssystem Ein konsistentes Gleichungssystem besitzt mindestens eine Lösung. Dagegen besitzt ein inkonsistentes keine Lösung. Dagegen besitzt ein inkonsistentes keine Lösung. Denken wir grafisch. Wie würde ein Graph eines konsistenten Systems aussehen? Zuerst ein grober Graph. Hier meine x-Achse und hier meine y-Achse. Das Gleichungssystem zweier sich schneidender Geraden wäre konsistent. Das Gleichungssystem zweier sich schneidender Geraden wäre konsistent. Hier eine Linie, da die andere. Sie haben eine Lösung, und zwar an der Stelle, an der sie sich schneiden. Sie haben eine Lösung, und zwar an der Stelle, an der sie sich schneiden. Das wäre also ein konsistentes System. Ein weiteres konsistentes System wäre, wenn beide die gleiche Gerade wären, dann würden sie sich an zahlreichen Stellen schneiden, eigentlich an unendlich vielen. Eine der Geraden sieht z.B. so aus. Die andere Gerade ist die exakt gleiche. Sie liegt genau auf ihr drauf. Die beiden schneiden sich also überall, das wäre dann also auch konsistent. Die beiden schneiden sich also überall, das wäre dann also auch konsistent. Ein inkonsistentes System hätte dagegen keine Lösungen. Hier nochmal ein Koordinatensystem. Solch ein System hätte keine Lösungen. Der einzige Weg also, um zwei Geraden in zwei Dimensionen ohne Lösungen zu haben, ist, wenn sie sich nicht schneiden oder parallel zueinander sind. Eine könnte so aussehen. Die andere dagegen hätte die gleiche Steigung und wäre nur versetzt. Die andere dagegen hätte die gleiche Steigung und wäre nur versetzt. Sie hätte einen anderen y-Schnittpunkt, und sähe dann so aus. So sähe also ein inkonsistentes System aus. Man hat parallele Geraden. Das hier ist inkosistent. Man könnte also einen groben Graphen aus beiden Gleichungen zeichnen und sehen, ob sie sich schneiden. Anders kann man die Steigung betrachten. Bei gleicher Steigung und unterschiedlichen y-Schnittpunkten hätte man ebenso ein inkonsistentes System. Aber zeichnen wir es zuerst. Hier wieder mein Koordinatensystem. Das ist die x- und das die y-Achse. Wir haben einige Möglichkeiten. Das Einfachste ist, zwei Punkte für beide Gleichungen zu finden, die jeweils beide Gleichungen lösen, das genügt schon, um eine Gerade zu definieren. Für die erste machen wir eine Wertetabelle aus Werten für x und für y. Wenn x gleich 0 ist, hat man 2y ist gleich 13, oder y ist gleich 13/2, dasselbe wie 6 1/2. Bei x gleich 0 ist y also gleich 6 1/2. Dieser Punkt hier. (0|13/2) Was ist bei y gleich 0? Bei y gleich 0 ist 2y gleich 0. Man erhält x gleich 13. Man erhält x gleich 13. Also Punkt (13|0). Das ist also (0|6 1/2), (13|0) wäre also hier. Ungefähr hier, (13|0). Diese Gleichung kann mit dieser Gerade dargestellt werden. Ich versuche es so gut wie möglich... So ungefähr sähe die Gerade aus. Nun zur anderen. Auch hier eine Wertetabelle für x und y. Ich suche nach zwei Punkten auf dieser Geraden. Bei x gleich 0, erhält man -y ist gleich -11, Bei x gleich 0, erhält man -y ist gleich -11, y ist also gleich 11. Also haben wir den Punkt (0|11) hier oben. Er befindet sich auf der Geraden. Und bei y gleich 0 hat man 3x minus 0 ist gleich -11 bzw. 3x ist gleich -11. Wenn man beide Seiten durch 3 teilt, erhält man x ist gleich -11/3. Das ist genau dasselbe wie -3 2/3. Bei y gleich 0 hat man also x gleich -3 2/3. Wenn das ungefähr 6 ist, befindet sich -3 2/3 etwa hier. Wenn das ungefähr 6 ist, befindet sich -3 2/3 etwa hier. Das ist also der Punkt -(11/3|0). Die zweite Gleichung sieht dann ungefähr so aus. Die zweite Gleichung sieht dann ungefähr so aus. Ich habe hier zwar nur freihand gezeichnet, dennoch sieht man deutlich, dass sich die beiden Geraden schneiden. deutlich, dass sich die beiden Geraden schneiden. Und zwar genau hier. Um die Frage zu beantworten, man muss nicht einmal den Schnittpunkt beider finden. Wir sehen hier schon deutlich, dass beide Geraden sich schneiden. Dies ist also ein konsistentes Gleichungssystem, welches eine Lösung besitzt. Man braucht mindestens eine, um konsistent zu sein. Also nochmal: Ein konsistentes Gleichungssystem.