Warum können wir eine Gleichung in einem Gleichungssystem von der anderen subtrahieren?

Wir haben ein sehr, sehr interessante Aufgabe. Auf der linken Seite der Waage habe ich zwei verschiedene Arten unbekannter Gewichte. Wir wissen, dass die beiden x-Gewichte das gleiche Gewicht x haben. Aber dann gibt es noch dieses andere, blaue Ding mit Gewicht y, das nicht unbedingt gleich groß wie x ist. Wir haben zwei x und ein y. Ihr Gesamtgewicht gleicht diese 8kg hier rechts aus. Jeder dieser Blöcke hat 1kg. Die erste Frage ist: Kannst du dies mathematisch ausdrücken? Kannst du ausdrücken, was wir hier sehen, also dass dieses Gesamtgewicht gleich schwer ist wie dieses? Kannst du das mathematisch ausdrücken? Lass uns über das Gesamtgewicht auf dieser Seite nachdenken. Wir haben zwei Gewichte mit Gewicht x, das sind zusammen 2x, und dann haben wir ein Gewicht y. Wir haben zwei Gewichte x, das sind zusammen 2x, und dann haben wir ein Gewicht y. Auf der linken Seite habe ich also 2x plus ein Gewicht y. Das ist das Gesamtgewicht. Die Gesamtgewicht auf der linken Seite beträgt 2x + y. Das Gesamtgewicht auf der rechten Seite ist 8. Und weil wir sehen, dass die Waage ausbalanciert ist, muss dieses Gesamtgewicht gleich diesem sein. Daher können wir hier ein Gleichheitszeichen schreiben. Nun meine Frage an dich: Was können wir mit dieser Information tun, um entweder x oder y zu ermitteln? Nun meine Frage an dich: Was können wir mit dieser Information tun, um entweder x oder y zu ermitteln? Die Antwort lautet: Mit nur dieser Information können wir sehr wenig tun. Vielleicht sagst du nun: "Lass mich y von beiden Seiten abziehen." Du könntest diesen y-Block wegnehmen. Wenn du den y-Block wegnimmst, musst du y auch von dieser Seite wegnehmen, und du weißt nicht, was y ist. Und wenn du algebraisch darüber nachdenkst, dann wirst du y hier los, indem du y hier und hier subtrahierst. Du wirst das y also nicht los. Dasselbe mit den x. Du hast nicht genug Information. y hängt davon ab, was x ist, und x hängt von y ab. Glücklicherweise haben wir noch ein paar solche Blöcke herumliegen. Und wir nehmen so einen x-Block und legen ihn hier ab, und ich nehme auch noch einen y-Block und lege ihn hier ab. Und dann lege ich so lange diese Einsen hier hin, bis die Waage ausbalanciert ist. Und dann lege ich so lange diese Einsen hier hin, bis die Waage ausbalanciert ist. Und ich finde heraus, dass meine Waage sich bei 5kg auf der rechten Seite ausbalanciert. Diese Information, dass x und y auf der linken Seite 5kg auf der rechten Seite ausbalancieren, wie können wir das mathematisch darstellen? Unsere Gesamtgewicht auf der linken Seite ist x + y. Unsere Gesamtgewicht auf der linken Seite ist x + y. und auf der rechten Seite habe ich 5kg. Und wir wissen, dass das die Waage ins Gleichgewicht bringt. Daher müssen diese Gewichte gleich sein. Und wieder kann ich mit dieser Information alleine nichts anfangen. Ich weiß nicht, was x und y sind. Wenn y vielleicht 4 ist, dann ist x gleich 1, vielleicht ist x gleich 4, dann ist y = 1. Wer weiß, was die wirklich sind. Das Interessante ist, dass wir beide Informationen zusammen nutzen können, um x und y zu ermitteln. Ich lasse dir nun ein bisschen Zeit, um darüber nachzudenken, wie wir das angehen können. Wir wissen, dass x plus y gleich 5 ist. Wenn wir ein x und ein y auf dieser Seite loswerden, also auf der linken Seite der Gleichung oder der Waage, was müssten wir dann auf der rechten Seite der Waage wegnehmen, um das gleiche Gewicht wegzunehmen? was müssten wir dann auf der rechten Seite der Waage wegnehmen, um das gleiche Gewicht wegzunehmen? Wenn wir x+y links wegnehmen, wir wissen, x+y = 5kg, dann müssen wir 5kg von der rechten Seite entfernen. Dann hätte ich hier nur ein x übrig, und hier ein paar von diesen Gewichten. Dann wüsste ich, was x ist. Wie können wir das algebraisch darstellen? Wenn ich ein x und ein y von der linken Seite wegnehme, ich subtrahiere (x + y) von der linken Seite. Aber was mache ich dann auf der rechten Seite? Wir wissen, dass x + y ein Gewicht von 5 hat. Daher subtrahieren wir 5 von der rechten Seite. Dies ist nur durch die Information möglich, die wir von der zweiten Waage erhalten haben. Ich kann also 5 abziehen. (x + y) wegnehmen ist das Gleiche wie 5 wegnehmen. Wir wissen das, weil x + y = 5kg. Wenn wir (x+y) von der linken Seite abziehen, was bleibt da übrig? Ich schreibe diesen Teil neu. Ein (x+y) abzuziehen ist, wenn wir ausmultiplizieren, das gleiche wie ein x abzuziehen und ein y abzuziehen. Auf der linken Seite haben wir 2x, wovon wir 1x wegnehmen, also bleibt nur ein x. Und wir hatten ein y, und wir haben ein y weggenommen, also bleibt kein y. Wir sehen es hier, wir haben nur ein x übrig. Und was haben wir auf der rechten Seite? Wir hatten 8 und haben 5 abgezogen, um das Gleichgewicht zu halten. 8 minus 5 ist gleich 3. Nur durch diese zusätzliche Information konnten wir das Gewicht von x ermitteln, nämlich 3. Nun eine letzte Frage. Wir konnten das Gewicht von x ermitteln. Aber kannst du nun jenes von y berechnen? Wir können nun zu jeder dieser Waagen zurückgehen. Wahrscheinlich wäre es einfacher, zu dieser zu gehen. Wir wissen, dass das Gewicht von x plus das Gewicht von y gleich 5 ist. Und wir wissen jetzt , x ist gleich 3. Somit können wir das umschreiben zu 3 plus y ist 5. Wir können nun 3 von beiden Seiten abziehen. Wenn ich links 3 wegnehme, muss ich rechts 3 wegnehmen, um das Gleichgewicht zu halten. Mir bleibt das Gewicht von y, das durch das Gewicht von 2 ausgeglichen wird, oder y = 2. Wir nehmen also 3 von jeder Seite weg. Links bleibt y, rechts bleibt 2. Also ist x gleich 3kg und y gleich 2kg. Bitte überprüf noch, ob das hier oben Sinn macht. Überprüfe, ob das Gesamtgewicht hier auf der linken Seite am Anfang wirklich 8 war. Du siehst dann, 2x haben 6kg, plus mein y mit 2kg, das wiegt 8 kg auf. Und 3 plus 2 war gleich 5.