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Algebra (alle Inhalte)

Kurs: Algebra (alle Inhalte) > Lerneinheit 5

Lektion 3: Äquivalente Systeme von Gleichungen und das Additionsverfahren

Eliminierungsverfahren - Wiederholung (Gleichungssysteme)

Das Eliminationsverfahren (Additionsverfahren) ist ein Technik um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Dieser Artikel wiederholt die Technik mit Beispielen und gibt dir darüberhinaus eine Möglichkeit die Methode selbst zu üben

Was ist das Eliminierungsverfahren?

Das Eliminierungsverfahren (Additionsverfahren) ist eine Technik lineare Gleichungssysteme zu lösen. Wir willen ein paar Beispiele durchgehen.

Beispiel 1

Wir sollen dieses Gleichungssystem lösen:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 5 y - 7 x & = 12 \end{aligned}

Wir stellen fest, dass die erste Gleichung einen

7 x

-Term und die zweite Gleichung einen

- 7 x

-Term. Diese Terme fallen weg, wenn wir die Gleichungen addieren—das bedeutet, dass wir den

x

-Term eliminieren:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ + 5 y - 7 x & = 12 \\ 7 y + 0 & = 7 \end{aligned}

Wenn wir nach

y

auflösen, erhalten wir:

\begin{aligned} 7 y + 0 & = 7 \\ 7 y & = 7 \\ y & = 1 \end{aligned}

Setzen wir diesen Wert in unsere erste Gleichung ein, lösen wir nach der anderen Variable auf:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 2 \cdot 1 + 7 x & = - 5 \\ 2 + 7 x & = - 5 \\ 7 x & = - 7 \\ x & = - 1 \end{aligned}

Die Lösung des Systems lautet

x = - 1

y = 1

Wir können unsere Lösung überprüfen, indem wir diese Werte in die Originalgleichungen einsetzen. Wir versuchen die zweite Gleichung:

\begin{aligned} 5 y - 7 x & = 12 \\ 5 \cdot 1 - 7 (- 1) & \overset{?}{=} 12 \\ 5 + 7 & = 12 \end{aligned}

Ja, die Lösung ist überprüft.

Wenn du unsicher bist, warum dieses Verfahren funktioniert, schau dir dieses Einführungsvideo für eine ausführliche Schritt-für-Schritt Anleitung an.

Beispiel 2

Wir sollen dieses Gleichungssystem lösen:

\begin{aligned} - 9 y + 4 x - 20 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

Wir können die erste Gleichung mit

- 4

multiplizieren, um eine äquivalente Gleichung zu erhalten, die den Term

- 16 x

hat. Unser neues (aber äquivalentes!) Gleichungssystem schaut so aus:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

Addieren wir die Gleichungen, um den

x

-Term zu eliminieren, erhalten wir:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ + - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \\ 29 y + 0 - 0 & = 0 \end{aligned}

Wenn wir nach

y

auflösen, erhalten wir:

\begin{aligned} 29 y + 0 - 0 & = 0 \\ 29 y & = 0 \\ y & = 0 \end{aligned}

Setzen wir diesen Wert in unsere erste Gleichung ein, lösen wir nach der anderen Variable auf:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ 36 \cdot 0 - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x & = - 80 \\ x & = 5 \end{aligned}

Die Lösung des Systems lautet

x = 5

y = 0

Willst du ein anderes Beispiel zum Lösen einer schwierigeren Aufgabe sehen? Schaue dir diese Video an.

Übung

Aufgabe 1

Löse das folgende Gleichungssystem.

\begin{aligned} 3 x + 8 y & = 15 \\ 2 x - 8 y & = 10 \end{aligned}

x =

y =

Willst du mehr Übung? Schau dir diese Aufgaben an:

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