Endliche geometrische Reihen - Textaufgabe: Soziale Netzwerke

Eine neue Social-Media-Seite gibt damit an, ihre Nutzerbasis jeden Monat des vergangenen Jahres um 47% vergrößert zu haben. Die Anzahl der Nutzer am 1. Januar letzten Jahres war 50.000. Welcher der unten stehenden Ausdrücke gibt die totale Anzahl der neuen Nutzer in Tausenden an, die im Monat n des vergangenen Jahres hinzugekommen sind, wenn 1 ≤ n ≤ 12 ist? Wir haben hier verschiedene Ausdrücke für die totale Anzahl der neuen Nutzer, die im Monat n hinzugekommen sind. Ich ermutige dich, das Video jetzt zu pausieren, und darüber nachzudenken, welcher dieser Ausdrücke uns tatsächlich diesen Wert gibt. Zuerst erstelle ich eine kleine Tabelle. Wir haben den Monat, dann haben wir anfängliche Nutzer, und dann hinzugekommene Nutzer. Und dann haben wir Nutzer am Ende des Monats. In Monat 1, wobei es sich wahrscheinlich um Januar handelt, haben wir mit 50.000 Nutzern begonnen. Sie wollen, dass wir den Ausdruck in Tausendern schreiben. Wir haben mit 50.000 Nutzern angefangen. Wie viele sind hinzugekommen? Es sind 47% von 50.000 hinzugekommen. Also 50 ⋅ 47%, also 50 ⋅ 0.47. Wie viele haben wir also am Ende? 50 + 50 ⋅ 0,47 ergibt 50 ⋅ 1,47. Falls das nicht offensichtlich ist, denk darüber nach. Das könnten wir als 50 ⋅ 1 schreiben. Also 50 ⋅ 1 + 50 ⋅ 0,47, das ergibt 50 ⋅ 1 + 0,47, also ⋅ 1,47. Also erhalten wir das hier. Jetzt kommen wir zu Monat 2. Wir beginnen mit dem Wert, den wir am Ende des letzten Monats erhalten haben. Ich kopiere ihn also einfach und füge ihn ein. Das ist unser Anfangswert. Was kommt jetzt noch dazu? Wir addieren unseren Anfangswert multipliziert mit 0,47. Was ist also unser Endwert? Wenn du diese beiden addierst, multiplizieren wir den ersten Ausdruck mit 1,47. Oder wir schreiben es einfach als 50 ⋅ 1,47^2. Und du erkennst jetzt vielleicht ein Muster. Kommen wir zu Monat 3. Welchen Wert haben wir am Anfang? Wir haben am Anfang diesen Wert, den ich kopiere und einfüge. Damit beginnen wir. Was addieren wir? Wir nehmen diesen Wert und multiplizieren ihn mit 47%. Wir multiplizieren ihn mit 0,47. Welchen Wert haben wir dann am Ende? Wir haben diesen Wert multipliziert mit 1 plus diesen Wert multipliziert mit 0,47. Das ist dasselbe wie das multipliziert mit 1,471. Wir könnten es auch einfach als 50 ⋅ 1,47^3 schreiben. Welches Muster haben wir also? In jedem Monat beginnen wir mit 50 ⋅ 1,47^x, wobei der Exponent um 1 kleiner ist als die Zahl des Monats. Im dritten Monat ist unser Exponent hier 2. Im zweiten Monat ist unser Exponent hier 1. Im ersten Monat ist unser Exponent hier 0, also haben wir 1,47^0, was 1 ergibt. Im ersten Monat haben wir also den Exponenten 0. Im zweiten Monat haben wir den Exponenten 1. Im dritten Monat haben wir den Exponenten 2. Wenn wir also den n-ten Monat betrachten, dann haben wir 50 ⋅ 1,47^(n - 1) zu Beginn des Monats. Was addieren wir im n-ten Monat? Wir addieren diesen Wert multipliziert mit 47%. Wir kopieren und fügen ihn ein. Diesen Wert multipliziert mit 47% bzw. 0,47. Welchen Wert haben wir am Ende? Wenn wir diese beiden Werte addieren, erhalten wir 50 ⋅ 1,47^n. Wir müssen jetzt den Ausdruck für die totale Zahl neuer Nutzer in Tausenden finden, die während des n-ten Monats hinzugekommen sind. Es gibt mehrere Ansätze dafür. Wir könnten fragen: Wie viele totale Nutzer hatten wir am Ende des Monats n? Am Ende des Monats n hatten wir so viele. Und wie viele hatten wir am Anfang des Jahres? Wir hatten 50.000. Wie viele totale neue Nutzer sind also während des Monats n dazugekommen? Das hier war unser Endwert. Ich füge ihn hier ein. Das war also unser Endwert. Und wir haben mit 50.000 Nutzern angefangen. Dieser Wert sagt also aus, wie viele im Monat n dazugekommen sind. Sieht eine unserer Antwortmöglichkeiten so aus? Naja, nicht ganz. Wenn diese dort eine -50 hätte, dann würde es stimmen, aber das hat sie nicht. Und keine der anderen hat diese Form, oder scheint etwas zu sein, das man sehr einfach in diese Form bringen könnte. Das ist also ein Lösungsweg, aber es ist keine unserer Antwortmöglichkeiten. Was ist also ein anderer Lösungsweg? Wir könnten einfach addieren, wie viele neue Nutzer wir Monat für Monat dazubekommen haben. Wir könnten also all diese Terme hier drüben addieren. Aber ich vereinfache sie erst noch ein bisschen. Welche Faktoren sehen wir in jeden Term? Alle Terme haben eine 50. Und sie haben alle etwas, das mit 0,47 multipliziert wird. Also können wir eine 0,47 und eine 50 ausklammern. Wenn wir das addieren, haben wir zuerst 0,47 ⋅ 50. Was bleibt übrig? Wenn wir im ersten Monat diese beiden Werte ausklammern, bleibt nur 1 übrig. Wenn wir im zweiten Monat 50 und 0,47 ausklammern, bleibt 1,47 übrig. Wenn wir das im dritten Monat ausklammern, bleibt 1,47^2 übrig. Und das machen wir bis zum n-ten Monat. Wenn wir diese beiden ausklammern, bleiben 1,47^(n - 1) übrig. Welche dieser Antwortmöglichkeiten sieht so aus? Es ist exakt die zweite Antwortmöglichkeit. Das ist genau das, was wir herausgefunden haben. Wir sind fertig.