Rationale Ausdrücke vereinfachen: gemeinsame binomiale Faktoren

Wir haben ein Rechteck mit einer Länge von a² + 6a - 27 und einer Breite von a² - 9. Schreibe das Verhältnis der Breite des Rechtecks zu seiner Länge als vereinfachten rationalen Ausdruck. Wir wollen das Verhältnis der Breite des Rechtecks zu seiner Länge, und wir haben die Ausdrücke für beide gegeben. Der Ausdruck für die Breite des Rechtecks ist a² - 9. Jetzt suchen wir das Verhältnis der Breite des Rechtecks zu seiner Länge. Die Länge steht hier: a² + 6a - 27. Wir sollen diesen Ausdruck vereinfachen. Wenn wir vereinfachen, egal ob wir Ausdrücke oder einfach nur Zahlen im Zähler oder Nenner haben, ist es am einfachsten, wenn wir ausklammern und schauen, ob sie gemeinsame Teiler haben, und falls ja, kann es sein, dass sie sich wegkürzen. Wenn wir also bei diesem oberen Ausdruck für die Breite ausklammern, sehen wir, dass er die Form a² - b² hat, und b² in diesem Fall 9 ist. Das ist also dasselbe wie (a + √9)(a - √9). Das ist also (a + 3)(a - 3) und das habe ich einfach vom Muster her erkannt. Immer wenn du etwas in der Form a² - b² siehst, kannst du es in (a + b)(a - b) umschreiben. Du kannst es selbst überprüfen, indem du das hier ausmultipliziert. Du wirst a² - b² erhalten. Die Breite können wir also als (a + 3)(a - 3) schreiben. Schauen wir, ob so etwas auch beim Nenner klappt. Wenn wir hier ausklammern wollen, müssen wir zwei Zahlen finden, die addiert 6 und multipliziert -27 ergeben. Diese zwei Zahlen sind 9 und -3. Also können wir es in (a + 9)(a - 3) umschreiben. 9 ⋅ a = 9a. a ⋅ (-3) = -3a. Wenn du diese mittleren Terme addierst, erhältst du 6a. 9 ⋅ (-3) = -27. a ⋅ a = a². Ich habe also bei beiden Ausdrücken ausgeklammert, jetzt versuchen wir, sie zu vereinfachen. Wir müssen aufpassen, dass wir beim Vereinfachen keine Informationen verlieren, also überlegen wir zuerst welche a-Werte hier erlaubt sind. Gibt es hier a-Werte, die dazu führen würden, dass der Ausdruck nicht definiert ist? Jeder a-Wert, der dazu führt, dass der Nenner 0 wird, sorgt dafür, dass dieser Ausdruck nicht definiert ist. a kann also nicht gleich -9 oder 3 sein, denn bei -9 oder 3 wäre der Nenner 0 und dieser Ausdruck nicht definiert. Wir müssen daran denken, dass dieser Definitionsbereich Teil des Ausdrucks ist, und wir ihn nicht ändern wollen, und keine Dinge erlauben wollen, die vorher nicht erlaubt waren, das müssen wir hier drüben bedenken. Jetzt, wo wir die Beschränkung aufgeschrieben haben, können wir weiter vereinfachen. Wir haben ein (a - 3) im Zähler und ein (a - 3) im Nenner, und wir nehmen an, dass a ≠ 3 ist, also dividieren wir nicht 0 durch 0. Bei jeder anderen Zahl dividierst du Zähler und Nenner durch denselben Wert und übrig bleibt (a + 3)/(a + 9). Die Beschränkung ist, dass a nicht -9 oder 3 sein darf. Es ist wichtig, dass wir das aufschreiben, da wir hier drüben die Information verloren haben, dass a ≠ 3 ist. Diese zwei Ausdrücke sollen gleich sein, und bei diesem hier oben war a = 3 nicht definiert. Damit diese zwei Ausdrücke wirklich gleichwertig sind, müssen wir den Definitionsbereich darauf beschränken, dass a ≠ 3 sein darf. Ich hoffe, das hilft dir weiter.