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Rationale Ausdrücke vereinfachen (fortgeschritten)

Hast Du die Grundlagen der Vereinfachung von rationalen Ausdrücken gelernt? Großartig! Gewinne jetzt mehr Erfahrung mit einigen schwierigeren Beispielen.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Ein rationaler Ausdruck ist ein Verhältnis von zwei Polynomen. Ein rationaler Ausdruck wird als vereinfacht betrachtet, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben.
Wenn dies neu für dich ist, empfehlen wir dir, unsere Einführung zur Vereinfachung von rationalen Ausdrücken anzuschauen.

Was du in dieser Lektion lernst

In dieser Lektion übst du die Vereinfachung komplexerer rationaler Ausdrücke. Schauen wir uns zwei Beispiele an, und dann kannst du einige Aufgaben ausprobieren!

Beispiel 1:  10x32x218x vereinfachen

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner
Hier ist es wichtig zu beachten, dass, obwohl der Zähler ein Monom ist, wir diesen auch faktorisieren können.
10x32x218x=25xx22x(x9)
Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten
Aus der faktorisierten Form sehen wir, dass x0 und x9 ist.
Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen
25xx22x(x9)=25xx22x(x9)=5x2x9
Schritt 4: Endgültige Antwort
Wir schreiben die vereinfachte Form wie folgt:
5x2x9 für x0

Wichtigste Erkenntnis

In diesem Beispiel sehen wir, dass wir manchmal Monome faktorisieren müssen, um einen rationalen Ausdruck zu vereinfachen.

Überprüfe dein Verständnis

1) Vereinfache 6x212x49x3.
Wähle eine Lösung.

Beispiel 2:  (3x)(x1)(x3)(x+1) vereinfachen

Schritt 1: Faktorisiere den Zähler und Nenner
Obwohl es nicht so scheint, dass es irgendwelche gemeinsamen Faktoren gibt, sind x3 und 3x verwandt. In der Tat können wir den Zähler 1 aus dem Zähler ausklammern, um den gemeinsamen Faktor x3 zu erhalten.
=(3x)(x1)(x3)(x+1)=1(3+x)(x1)(x3)(x+1)=1(x3)(x1)(x3)(x+1)Kommutativität
Schritt 2: Nicht zugelassene Werte auflisten
Aus der faktorisierten Form sehen wir, dass x3 und x1 ist.
Schritt 3: Gemeinsame Faktoren kürzen
=1(x3)(x1)(x3)(x+1)=1(x3)(x1)(x3)(x+1)=1(x1)x+1=1xx+1
Der letzte Schritt, die Multiplikation von 1 mit dem Zähler war nicht notwendig, aber es ist üblich, dies zu tun.
Schritt 4: Endgültige Antwort
Wir schreiben die gekürzte Form wie folgt:
1xx+1 für x3

Wichtigste Erkenntnis

Die Faktoren x3 und 3x sind Gegenzahlen, da 1(x3)=3x.
In diesem Beispiel haben wir gesehen, dass diese Faktoren gekürzt wurden, dass jedoch ein Faktor von 1 hinzugefügt wurde. Mit anderen Worten, die Faktoren x3 und 3x wurden gekürzt zu -1.
Im Allgemeinen werden die Gegenzahl-Faktoren ab und ba gekürzt zu 1 unter der Voraussetzung, dass ab.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

2) Vereinfache (x2)(x5)(2x)(x+5).
Wähle eine Lösung.

3) Vereinfache 1510x8x312x2.
für x
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Probieren wir noch ein paar Aufgaben

4) Vereinfache 3x15x26x.
Wähle eine Lösung.

5) Vereinfache 3x315x2+12x3x3.
für x
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

6) 6x212x6x3x2 vereinfachen.
Wähle eine Lösung.

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