Textaufgaben zu rationalen Gleichungen: kombinierte Raten

Ian kann innerhalb von 5 Stunden einen Rasen rechen und die Blätter eintüten. Kyandre braucht für dieselbe Arbeit 3 Stunden. Wie lange würden sie gemeinsam für die Arbeiten brauchen? Ian braucht also 5 Stunden dafür, den Rasen zu rechen und die Blätter einzutüten. Ich verwende I für Ian. Er braucht für 1 Rasen 5 Stunden. Wir hätten es auch als 5 Stunden pro Rasen schreiben können. Aber es so zu schreiben ist praktischer, da es sich um eine Rate handelt. Das hier ist dasselbe wie 1/5 Rasen pro Stunde. Das ist die Rate mit der Ian einen Rasen rechen kann: 1/5 Rasen pro Stunde. Jetzt machen wir dasselbe für Kyandre. Kyandre braucht 3 Stunden, um denselben Rasen zu rechen und die Blätter einzutüten. Kyandre braucht also für 1 Rasen 3 Stunden. Wenn ich es als Rate schreibe, habe ich 1/3 eines Rasens pro Stunde. Jetzt müssen wir über die kombinierte Rate nachdenken. Wir haben also Ian + Kyandre. Welche kombinierte Rate haben sie? Wir wollen wissen, wie lange beide zusammen brauchen würden, die Blätter zu rechen und einzutüten. Wir nehmen also t für die Zeit, die sie zusammen brauchen. Und wenn t die Zeit ist, die sie zusammen brauchen, dann könnten wir sagen, dass sie kombiniert 1 Rasen alle t Stunden schaffen, wenn wir annehmen, dass t in Stunden ist. Pro t Stunden. Ihre kombinierte Rate ist also 1/t Rasen pro Stunde. Wir haben also die Rate von Ian, die Rate von Kyandre, und die kombinierte Rate. Die kombinierte Rate ist einfach nur die Summe der beiden einzelnen Raten. Wenn der eine 1/5 eines Rasens pro Stunde schafft, und der andere 1/3 eines Rasens pro Stunde, dann ist ihre kombinierte Rate 1/5 + 1/3 eines Rasens pro Stunde. Weil der eine 1/5 in einer Stunde schafft, und der andere 1/3. Wir addieren also beide, um herauszufinden, wie viel sie in einer Stunde schaffen. Die kombinierte Rate ist also 1/5, ich schreibe die Einheiten nicht nochmal auf, da es sich sonst zu sehr wiederholt. Ich könnte Rasen pro Stunde dahinterschreiben. Und wir addieren die 1/3 Rasen pro Stunde für Kyandre. Und das ergibt ihre kombinierte Rate: 1/t pro Stunde. Jetzt müssen wir nur noch nach t auflösen. Dann kennen wir die Anzahl der Stunden, die sie brauchen werden. Um das zu machen, müssen wir einfach nur 1/5 + 1/3 rechnen. Wir haben den gemeinsamen Nenner 15. Das ist also dasselbe wie 3/15 + 5/15 = 1/t. Wir haben jetzt einen gemeinsamen Nenner. 3 + 5 = 8. Also ergibt das 8/15. Ich gehe jetzt hierüber. Wir rechnen 3 + 5 = 8 im Zähler. Dann haben wir 8/15 = 1/t. Um nach t aufzulösen, nehmen wir den Kehrwert beider Seiten. Links steht dann 15/8. Rechts steht dann t/1 bzw. t. Sie brauchen also 15/8 Stunden. t ist also gleich 15/8 Stunden. 15/8 Stunden pro Rasen. Wir hatten die ganzen Zeit die Einheit Rasen pro Stunde. Das hier war Rasen pro Stunde. Das hier auch. Wenn wir den Kehrwert nehmen, erhalten wir Stunden pro Rasen. Und das wollen wir. 15/8 ist dasselbe wie 1 7/8 Stunden. Wir benutzen unseren Taschenrechner. Wenn wir 60 Minuten in einer Stunde mit 7/8 multiplizieren, erhalten wir 52,5 Minuten. Zusammen brauchen sie also 1 Stunde und 52,5 Minuten pro Rasen. Für den speziellen Rasen in der Aufgabe. Ich hoffe, das hilft dir weiter.