Graphen von rationalen Funktionen: vertikale Asymptoten

Wir haben die Funktion f(x) = (g(x)) / (x² - x - 6), bei der g(x) ein Polynom ist. Welcher der folgenden ist ein möglicher Graph für y = f(x)? Wir haben vier Antwortmöglichkeiten. Pausiere wie immer das Video, und versuche die Aufgabe jetzt oder später im Video selber zu lösen. Es ist sehr wichtig, dass du versuchst, die Aufgabe selbst anzugehen, anstatt mir nur dabei zuzusehen. Jetzt machen wir es gemeinsam. Interessant. Wir haben nicht viele Informationen über f(x). Wir kennen den Zähler nicht. Wir wissen nur, dass er ein Polynom ist. Das bringt uns ein bisschen weiter. Aber wir haben den Nenner, und können darüber nachdenken, welche interessanten x-Werte es im Nenner gibt. Welche x-Werte sorgen dafür, dass der Nenner 0 ergibt? Um das herauszufinden, klammern wir im Nenner aus. Der Koeffizient des Terms ersten Grades ist -1. Wir können das davor schreiben, wenn wir wollen. Und die Konstante ist -6. Wenn wir das ausklammern wollen, suchen wir zwei Zahlen, die multipliziert -6 und addiert -1 ergeben. -3 ⋅ 2 = -6. -3 + 2 = -1. Ich kann also f(x) umschreiben. Ich schreibe die Funktion als f(x) = (g(x)) / (x - 3)(x + 2). Der Nenner wird also 0 wenn x = 3 oder x = -2 ist. Dann wird der Nenner gleich 0. Wenn etwas den Nenner 0 werden lässt, dann sagt uns das, dass wir entweder eine vertikale Asymptote, oder eine hebbare Unstetigkeit an diesem Punkt haben. Wenn wir z.B. eine hebbare Unstetigkeit bei x = 3 hätten, dann bedeutet das, dass man g(x) in (x - 3) ⋅ (anderen Term) zerlegen könnte. Wenn das der Fall ist, dann wäre x = 3 eine hebbare Unstetigkeit. Wenn x = 3 nicht dafür sorgt, dass g(x) gleich 0 wird, wenn z.B. g(3) ≠ 0 ist, oder g(-2) ≠ 0 ist, dann wären beide vertikale Asymptoten. Schauen wir uns die Antwortmöglichkeiten an. Bei Möglichkeit A haben wir eine vertikale Asymptote, die sich an der Stelle x = -2 befindet. Diese vertikale Asymptote hier ist also x = -2. Das scheint also mit der -2 hier überein zu stimmen, aber was ist mit x = 3? Dieser Graph ist für x = 3 definiert. x = 3 ist genau hier und ist dort definiert. Und f(x) ist offensichtlich nicht an der Stelle x = 3 definiert, denn wenn x = 3 ist, dann wird der Nenner gleich 0, und eine Division durch 0 ist nicht definiert. Obwohl dieser Graph also eine vertikale Asymptote an einer interessanten Stelle hat, schließen wir ihn aus, da er für x = 3 definiert ist, obwohl f(x) das nicht ist. Wir müssten hier entweder eine vertikale Asymptote oder eine hebbare Unstetigkeit haben. Hier haben wir eine vertikale Asymptote an der Stelle x = -2, und wir haben eine weitere vertikale Asymptote an der Stelle x = 4. Das ergibt ebenfalls keinen Sinn. Dieser Graph ist, genauso wie der vorherige, für x = 3 definiert. Bei x = 3 ist wird die Funktion gleich 0. Aber bei dieser Funktion ergibt f(3) nicht 0, da f(3) nicht definiert ist. Wir dividieren durch 0. Also können wir diese Antwort ausschließen. Nochmal: Bei x = 3 müssen wir eine hebbare Unstetigkeit oder eine vertikale Asymptote haben, da diese Stelle nicht definiert ist. Schauen wir uns Antwort C an. Wir haben eine vertikale Symptote an der Stelle x = -2. Sieht ziemlich gut aus. Und wir haben eine hebbare Unstetigkeit bei x = 3. Dieser Graph ist also für x = 3 und x = -2 nicht definiert, was gut ist, da f für diese beiden Punkte nicht definiert ist, da beide x-Werte dafür sorgen, dass der Nenner von f gleich 0 wird. Die Lösung sieht also gut aus. Sie stimmt mit dem überein, was wir bis jetzt über f(x) wissen. Wir kennen den Nenner: (x - 3)(x + 2). Da x = 3 keine vertikale Asymptote, sondern eine hebbare Unstetigkeit ist, müssen wir g(x) in etwas faktorisieren können, das mit (x - 3) multipliziert wird. Das stimmt also hiermit überein. Diese Antwort sieht gut aus. Schauen wir uns Antwort D an. Antwort D hat zwei vertikale Asymptoten. Eine ist bei x = -1. Und die andere ist bei x = 6. Keine würde dafür sorgen, dass unser Nenner gleich 0 wird, also können wir sie auch ausschließen. Die richtige Antwort ist also C.