Graphen von rationalen Funktionen: horizontale Asymptote

Wir haben die Funktion f(x) = (-x² + ax + b) / (x² + cx + d), bei der a, b, c und d unbekannte Konstanten sind. Welcher der folgenden ist ein möglicher Graph für y = f(x)? Die gestrichelten Linien stehen für Asymptoten. Das ist sehr interessant. Wir haben vier Antwortmöglichkeiten. Antwortmöglichkeit D ist etwas weiter rechts. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, und darüber nachzudenken, wie wir die Aufgabe lösen. Wir haben nämlich nicht sehr viele Informationen. Wir kennen die Koeffizienten und die Konstanten nicht. Okay, legen wir los. Zuerst denken wir über horizontale Asymptoten nach. Was passiert, wenn x gegen ±∞ strebt? Wenn x gegen +∞ oder -∞ strebt, was passiert dann mit f(x)? Wir schauen uns die Terme höchsten Grades an, da diese dominieren werden, wenn der Absolutbetrag von x sehr groß wird. f(x) wird also ungefähr -x² / x² sein, was dasselbe wie -1 ist. f(x) wird also gegen -1 streben. In jede Richtung, wenn x gegen +∞ oder gegen -∞ strebt. Wir haben also eine horizontale Asymptote bei y = -1. Antwortmöglichkeit A sieht so aus, als hätte sie hier eine horizontale Asymptote bei y = -1. Wir können das bestätigen, da jeder Strich für 2 Einheiten steht. Wir haben hier 2, dann 0, dann -2 und -4, also sieht es so aus, als wäre das hier -1. Wenn wir nur die horizontale Asymptote betrachten, sieht Antwortmöglichkeit A gut aus. Bei Möglichkeit B haben wir eine horizontale Asymptote bei y = 2. Wir können sie also ausschließen. Wir wissen, dass unsere horizontale Asymptote, wenn x gegen +∞ oder -∞ strebt, bei y = -1 ist. Hier ist die horizontale Asymptote bei y = 0. Der Graph strebt gegen die x-Achse entweder von oben oder von unten. Die horizontale Asymptote ist also nicht y = -1. Also können wir diese Möglichkeit ausschließen. Und hier ist unsere horizontale Asymptote ebenfalls nicht y = -1. Sie ist bei y = 0, also können wir sie ausschließen. Das ergibt Sinn, da wir nur genug Informationen hatten, um die horizontale Asymptote herauszufinden. Wir haben keine Informationen darüber, wie viele Nullstellen es gibt, oder was im Intervall passiert, da wir die Koeffizienten oder Konstanten der Gleichung nicht kennen. Wir wissen nur, dass, wenn die x²-Werte dominieren, diese Funktion gegen -1 streben wird. Also wählen wir Antwortmöglichkeit A.