Grafische Darstellung rationaler Funktionen 4

Wir wollen eine weitere rationale Funktion zeichnen, um noch mehr Übung darin zu bekommen. Wir haben die Gleichung y = x/(x² - x - 6). Als erstes zerlegen wir den Nenner in Faktoren, um unsere vertikalen Asymptoten zu finden, falls es welche gibt. Welche zwei Zahlen ergeben multipliziert -6 und addiert -1? Sie müssen zwei verschiedene Vorzeichen haben. Eine Zahl muss also positiv und die andere negativ sein. 2 und 3 könnten es sein, da sie 1 voneinander entfernt sind, und ich die größere Zahl subtrahiere, da ich beim Addieren einen negativen Wert erhalte. (x - 3)(x + 2) scheint also zu stimmen. Das ergibt -6. -3 ⋅ x + 2 ⋅ x = -x. Es stimmt also. Wir formen es also in x/(x + 2)(x - 3) um. Wie vorher im letzten Video sehen wir, dass sich (x + 2) und (x - 3) mit nichts im Zähler wegkürzen lassen, und wir sie deshalb zum Finden unserer vertikalen Asymptoten verwenden können. Die vertikalen Asymptoten entstehen entweder wenn dieser Term gleich 0 wird, oder wenn dieser Term gleich 0 wird, da an diesen Punkten unsere Gleichung nicht definiert ist. Das wird gleich 0 wenn x = -2 ist, und das wird gleich 0, wenn x = 3 ist. Du könntest es hier ausprobieren. Wenn x gleich -2 oder 3 ist, erhältst du eine 0 im Nenner und y ist dann nicht definiert. Wir haben also eine vertikale Asymptote an der Stelle x = -2. Und eine weitere vertikale Asymptote an der Stelle x = 3. Da haben wir unsere zweite vertikale Asymptote. Jetzt schauen wir nach horizontalen Asymptoten, wenn es denn welche gibt. Was passiert, wenn x stark positiv oder stark negativ wird? Du musst dir nur den Term höchsten Grades im Zähler, und den Term höchsten Grades im Nenner anschauen. Der Term höchsten Grades im Nenner ist x², während der Term höchsten Grades im Zähler nur ein x ist. Was passiert also, wenn x sehr groß wird? Stell dir vor, das wäre 1.000.000/1.000.000², was immer noch 1/1.000.000 ist. Diese Terme hier sind nicht so wichtig. Aber dieser Term hier wächst schneller als alle anderen. Das ist ein x²-Term. Wenn x größer wird, wird es viel größer als alles andere, inklusive diesem Term hier oben, also strebt es quasi gegen 0. Wenn der Nenner schneller wächst als der Zähler, dann streben wir gegen 0. Also haben wir eine horizontale Asymptote an der Stelle y = 0. Ich zeichne sie als gepunktete Linie über unsere x-Achse. Das hier ist die Gerade y = 0. Wie gesagt, wir finden das heraus, indem wir uns den Term höchsten Grades dort anschauen. Der Nenner hat einen höhergradigen Term, also wächst er schneller als der Zähler. Du kannst es mit deinem Taschenrechner ausprobieren. Und das stimmt, egal, ob du in die stark negative oder stark positive Richtung gehst. Dieser Term im Nenner wächst schneller als der Zähler, was dazu führt, dass wir gegen 0 streben. Du erhältst immer kleinere Brüche. Was passiert, wenn x immer größer wird? Ich zeige es dir mit meinem Taschenrechner. Sagen wir, x = 10. 10/(10² - 10 - 6). Du musst das normalerweise nicht machen, ich möchte dir nur kurz den Vorgang zeigen. Wenn wir 10/(10² - 10 - 6) haben, dann erhalten wir eine kleine Zahl. Was passiert, wenn x noch größer wird? Anstatt 10 setze ich jetzt 100 ein. Welches Ergebnis bekommen wir? Wir bekommen eine noch kleinere Zahl. Und wenn du x = 1000 ausprobierst, erhältst du eine Zahl, die noch kleiner ist. Das liegt daran, dass dieser Term hier schneller wächst als jeder andere Term. Deswegen ist unsere horizontale Asymptote y = 0. Wir haben alle Asymptoten eingezeichnet. Jetzt probieren wir ein paar Punkte aus. Ich zeichne eine kleine Wertetabelle. Wenn x = 0 ist, was ist dann y? Die Gleichung wäre dann 0/(0² - 0 - 6), y ist also 0. Was erhalten wir, wenn x = 1 ist? Dann rechnen wir 1/(1² - 1 - 6), was -1/6 ergibt. Was erhalten wir, wenn x = -1 ist? Wir haben -1 im Zähler, im Nenner haben wir (-1)², also 1, 1 - (-1) ergibt + 1, und dann haben wir -6. Was ergibt das? Es ergibt -1/-4, also 1/4, was ein positiver Wert ist. Ich zeichne den Punkt (-1|1/4) ungefähr hier ein. Wir hatten den Punkt (0|0) und bei x = 1 hatten wir -1/6. Wir könnten weitere Punkte einzeichnen, aber es sieht so aus, dass, wenn wir uns dieser vertikalen Asymptote von rechts nähern, wir gegen +∞ streben. Und das ergibt Sinn. Wir nähern uns -2 von rechts. Wenn wir also -1,9999999 einsetzen würden, dann wäre dieser Term hier eine sehr kleine positive Zahl. Dieser Term wäre eine negative Zahl. Dieser Term wäre auch eine negative Zahl. Die beiden Negative kürzen sich weg. Wir haben eine sehr kleine positive Zahl im Nenner. Wenn du 1 im Zähler hast, dann hast du eine stark positive Zahl. Wenn wir uns der anderen vertikalen Asymptote von links nähern, erhalten wir einen stark negativen Wert. Das vermute ich, da x = 1 bereits einen negativen Wert ergeben hat. Aber du kannst dir vorstellen, was bei 2,99999 passiert, oder? Ich zeichne es etwas besser. Du verstehst, was ich meine. Wenn x = 2,999 ist, kommen wir der Asymptote sehr nahe, das ist dann ein positiver Wert, der hier ist negativ, der hier ist positiv, und das hier ist eine kleine Zahl. Wir haben also 1 im Zähler und eine sehr kleine, also stark negative Zahl im Nenner. Also streben wir gegen -∞. Jetzt probieren wir hier Punkte aus, um zu sehen, was passiert. Was passiert, wenn x = 4 ist? Wenn x = 4 ist, haben wir 4/(16 - 4 - 6). Was ergibt das? Wir rechnen 16 - 10 und erhalten 6. Das ergibt also 4/6, was 2/3 ist. Der Punkt (4| 2/3) ist hier. Dadurch weiß ich, dass ich mich der horizontalen Asymptote nähere, je weiter ich nach rechts komme. Wir streben wahrscheinlich gegen +∞. Ich zeichne es nochmal etwas genauer. Hier drüben nähern wir uns immer mehr der horizontalen Asymptote, wenn wir gegen ∞ streben. Diese Kurve sollte hier etwas weicher aussehen. Ich hoffe, du siehst, was ich meine. Jetzt schauen wir uns an, was passiert, wenn x = -3 ist. Wenn x = -3 ist, haben wir -3/(9 + 3 - 6). Was ergibt das? Das ergibt -3/6, also -1/2. Wir haben also den Punkt (-3|-1/2) an dieser Stelle. Wir nähern uns also dieser Asymptote wenn wir stark negativ werden. Und der Graph verläuft wahrscheinlich gerade nach unten, wenn wir uns dieser vertikalen Asymptote hier nähern. Du kannst weitere Punkte ausprobieren, falls du mir nicht glaubst. Ich lasse den Graph nochmal im Taschenrechner zeichnen. Unsere Gleichung lautet x/(x² - x - 6). Jetzt lassen wir sie zeichnen. Da ist der Graph. Sieht gut aus. Unsere Asymptote ist 0, wir gehen nach unten. Vertikale Asymptote. Wir gehen nach oben, dann hier wieder nach unten, und dann wieder so. Das sieht also wieder genauso aus wie das, was wir haben. Der Taschenrechner wird etwas ungenau, wenn er sich diesen Werten nähert, aber der Graph hat dieselbe generelle Form. Wir könnten den Bildbereich des Graphen etwas eingrenzen. Wir nehmen 5 als unseren minimalen x-Wert. Und wir nehmen 5 als unseren maximalen x-Wert. Wir kommen etwas näher heran. Jetzt lassen wir ihn zeichnen. Da ist unser Graph. Er hat dieselbe Form wie hier. Ich hoffe, das hilft dir weiter.