Einführung in Quadratwurzelgleichungen und Scheinlösungen

In diesem Video haben wir bereits Erfahrung im Lösen von Wurzelgleichungen, oder Gleichungen mit Quadratwurzeln, oder vielleicht sogar höheren Wurzeln. Aber jetzt wollen wir ein interessantes Phänomen verstehen, das beim Lösen dieser Gleichungen auftritt. Ich zeige dir, was ich meine. Nehmen wir an, ich habe die Gleichung √x = 2x - 6. Beim Lösen dieser Wurzelgleichungen wollen wir mindestens eine der Wurzeln isolieren. In dieser Gleichung gibt es nur eine. Und wenn du eine der Wurzeln auf einer Seite der Gleichung isolierst, bei dieser hier ist das schon erledigt, wir haben √x auf der linken Seite, dann quadrieren wir beide Seiten der Gleichung. Ich schreibe es nochmal auf. Wir machen das langsam. Ich quadriere es und es ergibt (2x - 6)². Das Quadrieren scheint eine gute Idee zu sein. Wenn das hier das ergibt, dann sollte das Quadrierte davon auch das Quadrierte hiervon ergeben. Machen wir weiter. Wenn du die Quadratwurzel von x quadrierst, erhältst du einfach nur x. Was ergibt das? Wir rechnen (2x)², was 4x² ergibt. Das ganze ist (2x)². Wir erhalten 4x². Dann multiplizierst du diese beiden, was -12x ergibt. Und dann haben wir das zweimal, also -24x. -6² = 36. Wenn du diesen Schritt schwierig fandest, solltest du die Multiplikation von Polynomen oder Binomen wiederholen, oder den besonderen Fall, in dem wir Binome quadrieren. Aber allgemein wird das quadriert, und ergibt das. Dann subtrahieren wir zweimal das Produkt dieser zwei Terme. Das Produkt dieser zwei Terme ist -12x. Das mal 2 ergibt -24x, und dann haben wir das quadriert. So haben wir unsere Gleichung also vereinfacht. Schauen wir jetzt, was passiert, wenn wir x von beiden Seiten der Gleichug subtrahieren. Wenn wir x von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren, haben wir auf der linken Seite 0 stehen, und auf der rechten Seite steht 4x² - 25x + 36. Diese Wurzelgleichung wurde also zu einer normalen, quadratischen Gleichung vereinfacht. Der Einfachheit halber wenden wir nun einfach die quadratische Formel an. Die quadratische Formel sagt uns die Lösung für unser x. Zuerst brauchen wir -b. Wir haben -25. Das Negative von -25 ist 25. Dann haben wir + oder - die Quadratwurzel von 25², 25² = 625, dann haben wir - 4a, a = 4, mal c, was 36 ist. All das wird durch 2 ⋅ 4, also 8 dividiert. Das rechnen wir jetzt mit dem Taschenrechner aus. Wir rechnen 625 - 16 ⋅ 36. Das ergibt 49. Schön. Es ist eine glatte Quadratzahl. Wir kennen die Wurzel von 49. 7. Kommen wir zurück zur Aufgabe. Das unter der Wurzel wurde also zu 49 vereinfacht. x = (25 + oder - 7)/8. Wenn wir 7 addieren, rechnen wir zuerst 25 + 7 = 32, 32/8 = 4. Und unsere andere Lösung schreibe ich in einer anderen Farbe. x = 25 - 7 = 18/8. 8 passt zweimal in 18, mit dem Rest 2, also ergibt das 2 2/8 oder 2 1/4 oder 2,25. Jetzt zeige ich dir ein interessantes Phänomen, das auftritt. Und vielleicht willst du das Video pausieren, nachdem ich es dir zeige, aber ich erkläre dir, warum das passiert. Schauen wir, ob unsere Lösungen wirklich stimmen. Wir testen zuerst x = 4. Wenn x = 4 funktioniert, sollte √4 = 2 ⋅ (4) - 6 ergeben. Die Wurzel von 4 ist 2. 2 sollte also gleich 8 - 6 sein und das ist sie. Es stimmt. Die 4 funktioniert also. Jetzt versuchen wir dasselbe mit 2,25. √(2,25) sollte 2 ⋅ (2,25) - 6 ergeben. Du kannst das vielleicht im Kopf rechnen. Du weißt vielleicht, dass √225 = 15 ist. Davon ausgehend weißt du vielleicht, dass √2,25 = 1,5 ist. Ich beweise es dir mit dem Taschenrechner. √2,25 = 1,5. Die traditionelle Wurzel ist also 1,5. Eine weitere Quadratwurzel ist -1,5. Wir haben also 1,5. Und das sollte dann gleich 4,5 - 6 sein. Stimmt das? Das sagt uns, dass 1,5 = -1,5 ist. Das stimmt nicht. 2,25 hat für diese Wurzelgleichung nicht funktioniert. Wir nennen das eine irrelevante Lösung. 2,25 ist also eine irrelevante Lösung. Jetzt stellen wir uns die Frage: Warum haben wir 2,25 als Antwort erhalten? Wir haben die ganze Zeit richtige Schritte durchgeführt, und eine quadratische Gleichung und 2,25 als Ergebnis erhalten. Und es gibt hier einen Hinweis. Wenn wir 2,25 einsetzen, erhalten wir 1,5 = -1,5. Irgendetwas, was wir gemacht haben, hat uns diese Lösung gegeben, die hier nicht ganz zutrifft. Ich gebe dir noch einen Hinweis. Wir versuchen es bei diesem Schritt. Wenn du dir diesen Schritt anschaust, siehst du, dass beide Lösungen eigentlich funktionieren. Du könntest es also ausprobieren. Setze für x hier 2,25 ein. Du wirst sehen, dass es funktioniert. Setze für x hier 4 ein und du wirst sehen, dass hier beide funktionieren. Sie sind also beide richtige Lösungen. Es ist also etwas beim Quadrieren passiert, wodurch die Gleichung etwas anders geworden ist. Zwischen diesen beiden Schritten hat sich etwas in der Gleichung leicht verändert. Und es gibt zwei Möglichkeiten, das zu betrachten. Um von dieser Gleichung zurück zu dieser zu kommen, ziehen wir die Quadratwurzel. Wenn wir etwas genauer sind, dann ziehen wir die traditionelle Wurzel beider Seiten. Du könntest auch die negative Quadratwurzel ziehen. Beachte: Hier ziehen wir nur die traditionelle Quadratwurzel. Ich möchte das deutlich machen. Wir haben bereits etabliert, dass diese beiden Lösungen, sowohl die gültige, als auch die irrelevante Lösung dieser Wurzelgleichung, das hier erfüllen. Nur die gültige Lösung erfüllt die ursprüngliche Gleichung. Ich schreibe jetzt also eine Gleichung, die beide erfüllen. Das ist nämlich ein sehr interessantes Problem. Und es zeigt dir, was passiert, wenn wir die traditionelle Wurzel von Dingen ziehen. Und wenn du beide Seiten quadrierst, kannst du es entweder als Gewinn oder Verlust von Informationen betrachten. Das können wir als x = (2x - 6)² schreiben. Das ist eine gültige Interpretation dieser Gleichung hier. Aber es gibt eine völlig andere legitime Interpretation dieser Gleichung. Es könnte auch x = (-1⋅(2x - 6))² sein. Warum sind es gleichwertige Interpretationen? Da die -1 beim Quadrieren wegfällt. Es sind gleichwertige Aussagen. Eine andere Art, das hier zu schreiben, ist, -1 mit diesem Teil zu multiplizieren und du erhältst (-2x + 6)² oder (6 - 2x)². Das und das sind zwei verschiedene Schreibweisen hiervon. Es gibt zwei Arten, es zu betrachten. Als wir es quadriert haben, haben wir angenommen, dass das die einzige Interpretation ist, aber das war die andere. Wir haben also zwei Lösungen hierfür gefunden, aber nur die 4 erfüllt diese Interpretation hier. Ich hoffe du verstehst das, denn wir nehmen nur die positive Quadratwurzel. Wir betrachten nicht die negative Quadratwurzel hiervon, denn wenn du die Quadratwurzel von beiden Seiten ziehst, um hierhin zu kommen, ziehen wir nur die traditionelle Wurzel. Ich schreibe die ursprüngliche Gleichung nochmal auf. Wir hatten √x = 2x - 6. Dann haben wir gesagt, dass 4 eine Lösung, und 2,25 keine Lösung ist. 2,25 wäre eine Lösung, wenn wir gesagt hätten, dass beide Quadratwurzeln von x gleich 2x - 6 wären. Wenn du es jetzt ausprobierst, wird 2,25 hier eine gültige Lösung haben. Wenn du die negative Wurzel von 2,25 gleich 2 ⋅ 2,25 - 6 setzt, ergibt das -1,5. Es stimmt. Bei der positiven Version erhältst du x = 4. Deshalb haben wir zwei Lösungen. Vielleicht ist das ein einfacherer Weg, sich daran zu erinnern. Wenn du das quadrierst, erhältst du diese Gleichung, für die beide Lösungen gültig sind. Das war vielleicht ein bisschen verwirrend für dich. Ich will dich nicht verwirren. Denk einfach beim Lösen von Wurzelgleichungen daran, die Wurzeln zu isolieren, alles zu quadrieren und weiter zu lösen. Du erhältst vielleicht mehr als eine Lösung. Setze deine Lösungen wieder ein. Lösungen, die nicht funktionieren, sind irrelevante Lösungen. Ich erkläre in diesem Video eigentlich nur, warum diese irrelevante Lösung auftaucht. Ich hoffe, du verstehst jetzt, dass unsere Gleichung die Quadratwurzel von x ist. Die irrelevante Lösung wäre gültig, wenn wir die + oder - Quadratwurzel von x ziehen würden, nicht nur die traditionelle Wurzel.