Kubikwurzelgleichungen lösen

Wir sollen nach y auflösen. Die Gleichung lautet: -³√(y) = 4 ⋅ ³√(y) + 5. Bei Wurzelgleichungen ist es hilfreich, die Wurzel zu isolieren, und dann weiter zu lösen. Schauen wir also, ob wir die Wurzel isolieren können. Wenn wir alle Wurzeln auf der linken Seite haben wollen, ist es am einfachsten, 4 ⋅ ³√(y) von beiden Seiten der Gleichung zu subtrahieren. Wir subtrahieren also 4 ⋅ ³√(y) von beiden Seiten der Gleichung. Links steht bereits -1 ⋅ ³√(y), und wir subtrahieren 4 weitere Male ³√(y). Also haben wir -5 ⋅ ³√(y). Das steht auf der linken Seite. Auf der rechten Seite kürzt sich das weg. Darum ging es uns ja beim Subtrahieren dieses Werts. Das kürzt sich weg und es bleibt einfach nur diese 5 übrig. Jetzt haben wir ³√(y) fast isoliert. Wir müssen nur noch beide Seiten dieser Gleichung durch -5 dividieren. Wir dividieren beide Seiten dieser Gleichung durch -5. Und das kürzt sich weg. Darum ging es uns. ³√(y) = -1 bleibt übrig. ³√(y) = -1. Am einfachsten ist es, beide Seiten dieser Gleichung hoch 3 zu nehmen. Dieser Ausdruck hier ist derselbe, wie wenn ich y⁽1/3) = -1 schreibe. Es sind nur zwei verschiedene Arten, dieselbe Gleichung zu schreiben. Das hier ist dasselbe, wie y(1/3). Wenn wir also beide Seiten dieser Gleichung hoch 3 nehmen, ist es genau dasselbe, wie wenn wir beide Seiten dieser Gleichung hoch 3 nehmen. (y^(1/3))³ ist dasselbe wie y^(1/3 ⋅ 3), also y¹. Darum geht es. Wenn du die Kubikwurzel von y hoch 3 nimmst, erhältst du einfach nur y. Links steht also y. Was ergibt -1³ auf der rechten Seite? -1 ⋅ (-1) = 1. 1 ⋅ (-1) = -1. Also erhalten wir y = -1 als unsere Lösung. Jetzt überprüfen wir, ob das stimmt. Wir gehen zu unserer ursprünglichen Gleichung zurück. Und ich ersetze jedes y durch -1. Wir haben also - ³√(-1) = 4 ⋅ ³√(-1) + 5. Jetzt überprüfen wir, ob das stimmt. ³√(-1) = -1. -1³ = -1. Wir haben links also - (-1). Rechts haben wir 4 ⋅ (-1) + 5. - (-1) ist einfach nur 1. 1 muss also 4 ⋅ (-1) + 5 ergeben. Das stimmt. -4 + 5 = 1. Es stimmt also. Das ist unsere Lösung.