Quadratwurzel-Gleichungen - Einführung

Wir haben die Wurzelgleichung 2x - 1 = √(8 - x). Wir haben die Wurzel bereits auf einer Seite der Gleichung isoliert. Jetzt wollen wir die Wurzel loswerden, und das machen wir, indem wir beide Seiten der Gleichung quadrieren. Dann haben wir (2x - 1)² = (√(8 - x))². Wir lösen die Klammern auf und erhalten 4x² - 4x + 1 = 8 - x. Wir müssen hier sehr, sehr vorsichtig sein. Du denkst vielleicht, dass wir gültige Schritte durchgeführt haben, und auf beiden Seiten dasselbe angewandt haben, und wir dadurch äquivalente Gleichungen haben. Aber sie sind nicht ganz äquivalent. Denn wenn du etwas quadrierst, verlierst du Informationen. Das würde z.B. stimmen, selbst wenn die ursprüngliche Gleichung 2x - 1 = -√(8 - x) wäre. Denn wenn du beide Seiten davon quadrierst, würdest du ebenfalls das hier erhalten, da etwas Negatives durch das Quadrieren positiv wird. Wenn wir also eine Lösung hierfür finden, müssen wir sie überprüfen, um sicherzustellen, dass sie tatsächlich die Lösung der ersten gelben Gleichung hier ist, und nicht die Lösung dieser hier. Wenn sie eine Lösung dieser Gleichung rechts ist, und nicht eine der gelben, würden wir sie als irrelevante Lösung bezeichnen. Wir versuchen jetzt, sie zu lösen. Wir schreiben sie in der quadratischen Standardform. Wir subtrahieren 8 von beiden Seiten, um diese 8 hier loszuwerden, und addieren x zu beiden Seiten. Wir erhalten 4x² - 3x - 7 = 0. Ich überlege, ob ich ausklammern kann. Ich wende einfach die quadratische Formel an. Was sind also unsere Lösungen? x = -b, also 3. Dann haben wir + oder - die Quadratwurzel von b², also (-3)², was 9 ergibt. Dann subtrahieren wir 4a, also 4 ⋅ 4, und multiplizieren mit c, was 7 ist. Ich schreibe einfach eine 7 hierhin, und das Minuszeichen sorgt dann dafür, dass das ein Plus ist. All das wird durch 2a dividiert. 2 ⋅ 4 = 8. Wir haben also 3 + oder - die Quadratwurzel von was? 4 ⋅ 4 = 16. 16 ⋅ 7 = 70 + 42. Ich mache das nochmal im Detail. Ich rechne 16 ⋅ 7. Es ergibt 112. 112 + 9 = 121. Ein praktisches Ergebnis. Also 3 + oder - √121 und all das dividiert durch 8. Also 3 + oder - 11, und all das dividiert durch 8. Wenn wir 11 addieren, ergibt das 14/8. Wenn wir 11 subtrahieren, rechnen wir 3 - 11, was -8 ergibt. -8/8 = -1. Du denkst vielleicht, dass du zwei Lösungen für diese Wurzelgleichung gefunden hast. Aber denk dran: Eine dieser Lösungen könnte eine Lösung dieser alternativen Wurzelgleichung sein, die verloren gegangen ist, als wir beide Seiten quadriert haben. Wir müssen überprüfen, ob sie gültige Lösungen sind, oder ob eine davon eine irrelevante Lösung ist. Tatsächlich ist eine davon sehr wahrscheinlich eine Lösung dieser Wurzelgleichung, was wir nicht wollten. Mal sehen. Wir setzen für x jetzt -1 ein. Wenn x = -1, haben wir 2 ⋅ (-1) -1 = √(8 - - 1). Das wäre dann -2 - 1 = √9. Wir erhalten also -3 = √9. Und das ist die traditionelle, positive Quadratwurzel. Also stimmt das nicht. Also ist das hier drüben eine irrelevante Lösung. Es ist eine Lösung für diese Gleichung. Wenn du nämlich -1 bei dieser Gleichung einsetzt, erhältst du 2 ⋅ (-1) - 1 = -√(8 - - 1). Also ist diese -3 gleich dieser -3. Für diese Gleichung stimmt es also. Diese hier ist also die irrelevante Lösung. Diese hier ist die eigentliche Lösung unserer ursprünglichen Gleichung, und ich ermutige dich, das selbst zu überprüfen.