Scheitelpunktform - Einführung

Es ist vielleicht nicht offensichtlich, wenn du diese drei Gleichungen anschaust, aber sie sind genau dieselbe Gleichung. Sie wurden nur algebraisch bearbeitet. Sie sind in verschiedenen Formen dargestellt. Das ist die Gleichung in der Standardform für eine quadratische Gleichung. Das ist die Gleichung in faktorisierter Form. Dieser Teil wurde hier faktorisiert. Und diese letzte Form werden wir in diesem Video näher untersuchen. Sie wird manchmal Scheitelpunktform genannt. Wir werden uns nicht damit beschäftigen, wie man eine dieser Formen in eine Scheitelpunktform umformt, das machen wir in zukünftigen Videos, aber wir schauen uns an, warum sie Scheitelpunktform genannt wird. Denken wir zuerst darüber nach, was ein Scheitelpunkt ist. In anderen Videos haben wir besprochen, dass, wenn wir eine quadratische Gleichung zeichnen, bei der y gleich einem quadratischen Ausdruck in Bezug auf x ist, dann ist der Graph davon eine Parabel, entweder eine nach oben geöffnete Parabel, oder eine nach unten geöffnete Parabel. In unserem Beispiel ist es eine nach oben geöffnete Parabel. Sie sieht also ungefähr so aus. Bei einer nach oben geöffneten Parabel wie dieser, ist der Scheitelpunkt dieser Punkt hier. Du kannst ihn auch als den tiefsten Punkt ansehen. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist hier, und die y-Koordinate des Scheitelpunkts ist hier. Wir nennen diese Form Scheitelpunktform, weil es sehr einfach ist, die Koordinaten des Scheitelpunkts von dieser Form herauszufinden. Wie machen wir das? Wir müssen uns einfach die Struktur in diesem Ausdruck anschauen. y = 3(x + 2)² - 27. Es ist wichtig, dass du verstehst, dass dieser Teil des Ausdrucks niemals negativ wird. Egal, was du für x einsetzt, wenn du es hoch 2 nimmst, wirst du niemals einen negativen Wert erhalten. Dieser Teil wird also nie negativ, und wir multiplizieren ihn hier mit einem positiven Wert. Dieser ganze Teil wird also größer als oder gleich Null sein. Er wird also zu -27 hinzuaddiert. Den tiefsten Punkt für diese Parabel hier drüben bekommen wir, wenn dieser Ausdruck gleich Null ist, wenn du also -27 nichts hinzuaddierst. Wann ergibt das also 0? Nun ja, es ergibt 0 wenn x + 2 = 0 ist. Wenn du also die x-Koordinate des Scheitelpunkts finden willst, fragst du dich einfach: Für welchen x-Wert ergibt x + 2 = 0? Wir können 2 von beiden Seiten subtrahieren, und erhalten x = -2, Wir wissen also, dass diese x-Koordinate hier drüben -2 ist. Was ist dann die y-Koordinate des Scheitelpunkts? Was ist also der tiefste y-Punkt, den diese Kurve hat? Wenn x = -2, dann ist dieser ganze Ausdruck gleich Null, und y = -27. y = -27, also ist das hier drüben -27. Die Koordinaten des Scheitelpunkts sind also (-2|-27). Und das kannst du herausfinden, indem du dir einfach die quadratische Gleichung in der Scheitelpunktform anschaust. Kommen wir zu ein paar weiteren Beispielen, damit wir besser darin werden, den Scheitelpunkt in der Scheitelpunktform zu erkennen. Nehmen wir ein Beispiel mit einer nach unten geöffneten Parabel, bei der y = -2(x - 5)² + 10 ist. Das wird eine nach unten geöffnete Parabel. Schauen wir uns an, warum das so ist. Dieser Teil hier wird nie negativ sein, aber er wird mit -2 multipliziert, also wird er nie positiv. Also wird dieser ganze Teil hier kleiner als oder gleich 0 für alle x-Werte. Er kann also nur von der 10 subtrahieren. Wo erreichen wir unsere höchste Stelle? Wir erreichen einen Höhepunkt, wenn x - 5 = 0 ist, wir also nichts von der 10 subtrahieren. x - 5 = 0. Das ist der Fall, wenn x = 5 ist. Und das ist auch die x-Koordinate für den Scheitelpunkt. Und unsere y-Koordinate für den Scheitelpunkt? Wenn x = 5, und das hier 0 ist, subtrahierst du nichts von der 10, deshalb ist y = 10. Der Scheitelpunkt hier ist also x = 5 und ich zeichne ihn mal grob ein. Und y = 10. Wenn das -27 ist, wäre das 27 und die 10 wäre ungefähr hier. Ich verwende nicht denselben Maßstab für die x- und y-Achse, aber ungefähr da. Der Punkt hat die Koordinaten (5|10), und unsere Kurve sieht ungefähr so aus. Ich weiß nicht genau, wo die Schnittpunkte mit der x-Achse sind, aber es ist eine nach unten geöffnete Parabel. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel, damit wir noch mehr Übung darin bekommen, den Scheitelpunkt von der Scheitelpunktform abzulesen. Ich denke mir einfach eine Gleichung aus. y = -π(x - 2,8)² + 7,1. Wo ist der Scheitelpunkt dieser Parabel? Die x-Koordinate ist der x-Wert, der diesen Wert gleich Null setzt, und zwar 2,8. Und wenn das hier gleich Null ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich Null, und y = 7,1. Jetzt verstehst du hoffentlich, warum diese Form Scheitelpunktform genannt wird. Es ist ziemlich einfach, den Scheitelpunkt herauszufinden, wenn eine Gleichung in dieser Form dargestellt wird.