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Lösung quadratischer Gleichungen durch quadratisches Ergänzen

Löse zum Beispiel die Gleichung x²+6x=-2, indem du sie in (x+3)²=7 veränderst und dann die Quadratwurzel ziehst.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Was du in dieser Lektion lernst

Bis hierher hast die quadratische Gleichungen entweder durch Wurzelziehen oder durch Faktorisieren gelöst. Diese Methoden sind relativ einfach und wirkungsvoll, wenn sie einsetzbar sind. Leider sind sie nicht immer anwendbar.
In dieser Lektion lernst du eine Methode zur Lösung von jeder Art einer quadratischen Gleichung kennen.

Quadratische Gleichungen mit quadratischer Ergänzung lösen

Betrachte die Gleichung x2+6x=2. Die Wurzel- und Faktorisierungsmethode sind hier nicht anwendbar.
Aber die Hoffnung ist nicht verloren! Wir können ein Methode benutzen, die quadratische Ergänzung genannt wird. Wir beginnen mit der Lösung und wiederholen es dann etwas genauer.
(1)x2+6x=2(2)x2+6x+9=7Addiere 9, ergänze den quadratischen Term.(3)(x+3)2=7Faktorisiere den Ausdruck auf der linken Seite.(4)(x+3)2=±7Ziehe die Wurzel.(5)x+3=±7(6)x=±73Subtrahiere 3.
Zusammengefasst sind die Lösungen x=73 und x=73.

Was ist hier passiert?

Das Addieren von 9 zu x2+6x in Zeile (2) hat das vorteilhafte Ergebnis, aus dem Ausdruck einen quadratischen Term zu bilden, der als (x+3)2 faktorisiert werden kann. Dies ermöglicht uns die Gleichung durch Wurzelziehen zu lösen.
Die war natürlich kein Zufall. Die Zahl 9 wurde sorgfältig so ausgewählt, damit der sich ergebende Term ein quadratischer Term sein würde.

Wie der quadratische Term vervollständigt wird

Um zu verstehen, wie 9 gewählt wurde,sollten wir uns selbst die folgende Frage stellen: Wenn x2+6x der Anfang eines quadratischen Terms ist, wie lautet dann der konstante Term?
Nehmen wir an, dass der Ausdruck als Quadratzahl (x+a)2 faktorisiert werden kann, wobei der Wert der Konstante a noch unbekannt ist. Dieser Ausdruck wird erweitert, als x2+2ax+a2, was uns zwei Dinge sagt:
  1. Der Koeffizient von x, von dem wir wissen, dass er 6 ist, sollte 2a entsprechen. Dies bedeutet, dass a=3 ist.
  2. Die konstante Zahl, die wir addieren müssen, entspricht a2, was 32=9 ist.
Versuche selbst ein paar quadratische Terme zu ergänzen.
Aufgabe 1
Was ist der fehlende konstante Term in dem quadratischen Term, der mit x2+10x beginnt?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Aufgabe 2
Was ist der fehlende konstante Term in dem quadratischen Term, der mit x22x beginnt?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Aufgabe 3
Was ist der fehlende konstante Term in dem quadratischen Term, der mit x2+12x beginnt?
  • Deine Lösung sollte sein
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5

Challengeaufgabe
Was ist der fehlende konstante Term in dem quadratischen Term, der mit x2+bx beginnt?
Wähle eine Lösung.

Diese anspruchsvolle Frage ergibt eine Abkürzung für die quadratische Ergänzung, für die, die Abkürzungen lieben und denen es nichts ausmacht, sich Dinge zu merken. Es zeigt uns, dass um x2+bx als quadratischen Term zu ergänzen, wobei b jede beliebige Zahl ist, wir (b2)2 dazu addieren müssen.
Zum Beispiel, um x2+6x als quadratischen Term zu ergänzen, müssen wir (62)2=9 zu diesem addieren.

Noch einmal: Gleichungen lösen

Fertig! Nun, da du ein geprüfter Quadratischer Ergänzer bist, wollen wir zurück zu dem Prozess des Lösens von quadratischen Gleichungen gehen, indem wir unsere Methode anwenden.
Schauen wir uns ein neues Beispiel an, die Gleichung x210x=12.
(1)x210x=12(2)x210x+25=13Addiere 25, ergänze den quadratischen Term.(3)(x5)2=13Faktorisiere dne Term auf der linken Seite.(4)(x5)2=±13Ziehe die Wurzel.(5)x5=±13(6)x=±13+5Addiere 5.
Um den ursprünglichen linken Term x210x zu einem quadratischen Term zu machen, addieren wir 25 in Reihe (2). Wie immer bei Gleichungen, machen wir das gleiche auf der rechten Seite , wodurch dort 12 auf 13 zunimmt.
Im allgemeinen hängt die Wahl welche Zahl addiert wird, um den quadratischen Term zu ergänzen nicht von der rechten Seite ab, aber wir müssen die Zahl immer auf beiden Seiten addieren.
Nun bist du dran einige Gleichungen zu lösen.
Aufgabe 4
Löse x28x=5.
Wähle eine Lösung.

Aufgabe 5
Solve x2+3x=14.
Wähle eine Lösung.

Ordnen der Gleichung vor der quadratischen Ergänzung

Regel 1: Trenne die Variablen vom konstanten Term

Dies zeigt, wie die Lösung der Gleichung x2+5x6=x+1 geht:
(1)x2+5x6=x+1(2)x2+4x6=1Subtrahiere x.(3)x2+4x=7Add 6.(4)x2+4x+4=11Addiere 4, ergänze den quadratischen Term.(5)(x+2)2=11Faktorisiere.(6)(x+2)2=±11Ziehe die Wurzel.(7)x+2=±11(8)x=±112Subtrahiere 2.
Das Ergänzen des quadratischen Terms auf einer der Seiten der Gleichung ist nicht hilfreich wenn wir einen x-Term auf der anderen Seite haben. Dies ist warum wir x in Reihe (2) subtrahiert haben, indem wir alle variablen Terme auf der linken Seite platziert haben.
Außerdem müssen wir, um x2+4x zu einem quadratischen Term zu ergänzen, 4 hinzufügen. Aber bevor wir das tun, müssen wir sicher sein, dass alle konstanten Terme auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Dies ist, warum wir 6 in Reihe (3) addierten, und x2+4x alleine stehen ließen.

Regel 2: Stelle sicher, dass der Koeffizient von x2 gleich 1 ist.

Dies zeigt, wie die Lösung der Gleichung 3x236x=42 geht:
(1)3x236x=42(2)x212x=14Dividiere durch 3.(3)x212x+36=22Addiere 36, ergänze zum quadratischen Term.(4)(x6)2=22Faktorisiere.(5)(x6)2=±22Ziehe die Wurzel.(6)x6=±22(7)x=±22+6Addiere 6.
Die Methode des quadratischen Ergänzens funktioniert nur wenn der Koeffzient von x2 gleich 1 ist.
Das ist warum wir in Reihe (2) durch den Koeffizienten von x2, welcher 3 ist, dividiert haben.
Manchmal ergeben sich Brüche bei den anderen Koeffizienten wenn wir durch den Koeffizienten von x2 dividieren. Das bedeutet nicht, dass du etwas falsch gemacht hast, Es bedeutet nur, dass du mit Brüchen arbeiten musst um die Gleichung zu lösen.
Nun bist du dran eine solche Gleichung zu lösen.
Aufgabe 6
Solve 4x2+20x3=0.
Wähle eine Lösung.

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