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Quadrataufgaben lösen, indem man die Quadratwurzel zieht: Challenge

Sal löst anspruchsvolle quadratische Gleichungen wie (4x+1)²-8=0  indem er die Wurzel auf beiden Seiten zieht. Erstellt von Sal Khan und CK-12 Foundation

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Video-Transkript

In diesem Video werde ich einige Beispiele von quadratischen Gleichungen behandeln, die eine besondere Form besitzen. Das ist zum Aufwärmen für unser nächstes Video, der Quadratischen Ergänzung. Ich zeige euch, was ich damit meine. Wir nehmen: (4x + 1) zum Quadrat - 8 = 0 Wir nehmen: (4x + 1) zum Quadrat - 8 = 0 Nach all dem, was wir bis jetzt gemacht haben, wärt ihr vielleicht verleitet, das auszumultiplizieren, dann 8 von dessen Konstanten abzuziehen, und dann versuchen, es zu faktorisieren. Dann hättet ihr (x - etwas)(x- etwas) = 0 Dann hättet ihr (x - etwas)(x- etwas) = 0 Und ihr würdet sagen, dass eine dieser hier gleich 0 ist, x wäre dann dies oder das... Das machen wir dieses Mal nicht, weil euch vielleicht etwas Interessantes auffällt. Wir können dies ohne Faktorisieren lösen. Wie machen wir das also? Was passiert, wenn wir auf beiden Seiten dieser Gleichung 8 addieren? Zunächst steht auf der linken Seite: (4x +1) zum Quadrat und die 8 fällt weg. Zunächst steht auf der linken Seite: (4x +1) zum Quadrat und die 8 fällt weg. Auf der rechten Seite steht lediglich eine +8. Wie können wir nun beide Seiten dieser Gleichung verändern? Und das ist wirklich keine besondere Art, um Gleichungen zu lösen. Das ist keine ausgefallene Vorgehensweise. Wir können hier beiderseits die Quadratwurzel ziehen. Wir können hier beiderseits die Quadratwurzel ziehen. Also 4x + 1 -- Ich ziehe auf beiden Seiten einfach die Quadratwurzel. Beiderseitig Wurzel ziehen, und natürlich möchte man sowohl die positive als auch die negative Quadratwurzel, denn 4x +1 könnte entweder die positive Quadratwurzel von 8 sein, oder die negative Quadratwurzel von 8. Also ist 4x + 1 = +/- Wurzel 8. Also ist 4x + 1 = +/- Wurzel 8. Anstatt 8 schreibe ich die 8 als 4*2. Das hier ist 8,und offensichtlich ist die Wurzel aus (4x +1) zum Quadrat einfach 4x + 1. Wir erhalten: 4x + 1 ist gleich -- Wir können die 4 herausziehen, bzw. Wurzel 4, also 2 -- ist gleich +/- 2*Wurzel 2. Wurzel 4*2 ist dasselbe wie Wurzel 4 * Wurzel 2, +/- Wurzel 4 ist gleich dieser 2 hier. Die Gleichung sieht zwar ein wenig komisch aus, das "+/- 2 * Wurzel 2, ist sie aber nicht. Das hier sind im Prinzip zwei Zahlen, wir lösen eigentlich zwei Gleichungen gleichzeitig. Wir könnten dies umschreiben als: 4x + 1 = 2* Wurzel 2 oder: 4x + 1 = -2* Wurzel 2. oder: 4x + 1 = -2* Wurzel 2. Dieser Ausdruck hier ist gleichbedeutend mit dieser hier, da wir hier dieses +/- haben, dieses "ODER". Lösen wir diese hier alle gleichzeitig. Wenn ich also von beiden Seiten 1 abziehe, was erhalte ich dann? Auf der linken Seite bleibt nur 4x übrig. Auf der rechten habe ich -- man kann es nicht wirklich mathematisch lösen, nur mit einem Taschenrechner, ich lasse es jedoch als -1 +/- Wurzel, bzw. 2* Wurzel 2. einem Taschenrechner, ich lasse es jedoch als -1 +/- Wurzel, bzw. 2* Wurzel 2. Und das ist gleich 4x. Bei diesen beiden getrennten Gleichungen funktioniert dieselbe Methode. Wenn man 1 von beiden Seiten abzieht, erhält man: 4x = -1 + 2 * Wurzel 2. Bei dieser Gleichung ziehen wir 1 von beiden Seiten ab. 4x = -1 - 2* Wurzel 2. 4x = -1 - 2* Wurzel 2. Dieser Ausdruck hier ist exakt gleichbedeutend mit diesen beiden hier. Im letzten Schritt müssen wir beide Seiten durch 4 teilen, und man erhält für x: -1 +/- 2* Wurzel 2 geteilt durch 4. -1 +/- 2* Wurzel 2 geteilt durch 4. Dieser Ausdruck ist nun komplett gleichbedeutend mit diesen beiden geteilt durch 4. Man bekommt dann: x = -1 + 2* Wurzel 2 geteilt durch 4. mit diesen beiden geteilt durch 4. Man bekommt dann: x = -1 + 2* Wurzel 2 geteilt durch 4. Das ist eine Lösung. Die andere Lösung ist: x = -1 -2* Wurzel 2, geteilt durch 4. Die andere Lösung ist: x = -1 -2* Wurzel 2, geteilt durch 4. Dieser und diese beiden Ausdrücke sind gleichbedeutend. Wenn man möchte, kann man eine der Lösungen am Anfang einsetzen, um sicherzugehen, dass eine dieser seltsamen Ausdrücke eine Lösung für eine hübsche Gleichung wie diese sein kann. Setzten wir es nochmal ein. 4*x, oder 4*(-1 + 2* Wurzel 2), geteilt durch 4, + 1 zum Quadrat - 8 = 0. Zuerst heben sich die 4er auf, also bleibt übrig: (-1+ 2* Wurzel 2 + 1) zum Quadrat - 8 = 0. (-1+ 2* Wurzel 2 + 1) zum Quadrat - 8 = 0. Die -1 und +1 heben sich auf, also bleibt übrig: (2* Wurzel 2) zum Quadrat - 8 = 0. bleibt übrig: (2* Wurzel 2) zum Quadrat - 8 = 0. Was wird nun daraus? Beim Quadrieren erhält man: 4*2 - 8 = 0, was dié Lösung ist. Beim Quadrieren erhält man: 4*2 - 8 = 0, was dié Lösung ist. 8 - 8 = 0. Wenn man dies einsetzt, bekommt man exakt das gleiche Ergebnis. Probieren wir noch so eine. Merke: Dies sind Spezialformen, wo wir quadratische Binome haben. Wir werden sehen, dass die gesamte quadratische Form eigentlich von diesem Begriff abgeleitet ist, weil man im Prinzip jegliche quadratische Gleichung in ein simples Quadrat gleich etwas anderem verändern kann. Das werden wir in 2 Videos sehen. Wärmen wir uns vorher jedoch noch darin auf. Wärmen wir uns vorher jedoch noch darin auf. Sagen wir: x zum Quadrat - 10x + 25 = 9. Sagen wir: x zum Quadrat - 10x + 25 = 9. Jetzt fühlt ihr euch sicher wieder dazu verleitet, von beiden Seiten 9 abzuziehen, sodass rechts eine 0 steht, aber schaut euch vorher das an. Is das nicht eine binomische Reihe? Wir haben zwei Zahlen, wenn ich sie multipliziere, erhalte ich +25, wenn ich sie addiere, bekomme ich -10. Hoffentlich fällt euch -5 gleich ins Auge. Dieser Ausdruck hier ist: (x - 5)*(x - 5) Man kann die linke Seite also umschreiben als (x - 5) zum Quadrat und auf der rechten Seite steht immer noch 9. Darauf lege ich viel Wert. Ich möchte nicht, dass all eure Übung im Faktorisieren umsonst war. Das können wir nur machen, wenn das hier ein perfektes Quadrat ist. Wenn ihr hättet: (x - 3)*(x + 4) = 9, dann wären wir in einer Sackgasse. Wenn ihr hättet: (x - 3)*(x + 4) = 9, dann wären wir in einer Sackgasse. Das würde man nichts mehr vereinfachen können. Das würde man nichts mehr vereinfachen können. Nur weil das hier ein perfektes Quadrat ist, können wir sagen: (x - 5) zum Quadrat = 9. Dann können wir auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Dann hätten wir: x - 5 = +/- 3. 5 auf beiden Seiten dieser Gleichung addiert, erhält man: x = 5 +/- 3 oder x =... was ergibt 5 + 3? x könnte 8 sein oder x = 5 - 3, also x = 2. Wir hätten diese quadratische Gleichung auf dem klassischen Wege lösen können, so wie ihr es am Anfang machen wolltet. Was passiert beim Subtrahieren von 9 auf beiden Seiten dieser Gleichung? Man erhätlt x zum Quadrat - 10x. Was ergibt 25 - 9? 25 - 9 = 16 und das wäre dann gleich 0. Das hier ist ein klassisches Faktorproblem, das gleiche, was wir in den vorherigen Videos gesehen haben. Welche Zahlen ergeben beim Multiplizieren +16 und welche ergeben beim Addieren -10? Vielleicht fallen euch gleich die Zahlen 8 und -2 ein. Wir bekommen also: (x - 8)*(x - 2) = 0. also könnte x = 8 oder x = 2 sein. Das ist das Tolle bei Algebra: Man kann Aufgaben auf zwei völlig unterschiedliche Arten lösen, aber so lange man beide algebraisch richtig macht, erhält man keine unterschiedlichen Ergebnisse. Und irgendwann begreift ihr, dass ihr hier nicht mehr mit Zahlen jonglieren müsst nach dem Motto: Multiplizieren -- 16, Addieren -- -10... Hier sagt man: Das ist x -5. Man sagt, dass 5*5 = 25 ist und -10 = -5 + -5. Man sagt, dass 5*5 = 25 ist und -10 = -5 + -5. Ich würde das hier nehmen, man muss immer noch mit den Zahlen jonglieren. Machen wir ein weiteres Beispiel. Eine weitere Aufgabe, um uns gut darin aufzuwärmen. Wir haben: x zum Quadrat + 18x + 81 = 1. Wir haben: x zum Quadrat + 18x + 81 = 1. Hier wieder zwei Arten. Wir könnten 1 von beiden Seiten abziehen oder wir sehen, dass das hier (x + 9)(x + 9) ist. Das hier, 9*9 = 81, 9 + 9 = 18. Wir können die Gleichung schreiben als: (x + 9) zum Quadrat =1. Wir können die Gleichung schreiben als: (x + 9)zum Quadrat =1. Beiderseitig die Wurzel gezogen, erhält man: x + 9 = +/- Wurzel 1, Beiderseitig die Wurzel gezogen, erhält man: x + 9 = +/- Wurzel 1, was einfach 1 ist. x ist dann gleich -- 9 von beiden Seiten abziehen -- +/1. x ist dann gleich -- 9 von beiden Seiten abziehen -- +/1. Das bedeutet: x könnte gleich -9 + 1 sein, -8, oder: x ist gleich -9 - 1, das wäre -10. Auch hier funktioniert der klassiche Weg. Ihr könntet beiderseits 1 abziehen und ihr bekämt: x zum Quadrat + 18x + 80 = 0. Und ihr erkennt: 8*10 = 80, 8 + 10 =18, also erhaltet ihr: (x + 8)*(x + 10) = 0. Ihr bekommt entweder x = -8 oder x = -10. Das war gutes Aufwärmprogramm. Jetzt sollten wir für die Quadratische Ergänzung bereit sein.