Beispielaufgabe: Formen & Merkmale von quadratischen Funktionen

Wir haben die Funktion m in drei äquivalenten Formen. Wir haben die Funktion m in drei äquivalenten Formen. Welche Form zeigt am schnellsten den y-Achsenabschnitt? Zur Erinnerung: Der Graph y ist gleich der Funktion m(x) Der Graph y ist gleich der Funktion m(x) und dies sind alles äquivalente Formen der Funktion m. und dies sind alles äquivalente Formen der Funktion m. Also kann ich jede einzelne von ihnen algebraisch umformen, um eine der anderen zu erhalten. Also kann ich jede einzelne von ihnen algebraisch umformen, um eine der anderen zu erhalten. Wenn ich den Graphen y=m(x) zeichen möchte, sieht es etwa so aus. Wenn ich den Graphen y=m(x) zeichen möchte, sieht es etwa so aus. Ich weiß, dass es sich um eine nach unten offene Parabel handelt, Ich weiß, dass es sich um eine nach unten offene Parabel handelt, weil ich hier in der Formel einen negativen Koeffizienten im Term zweiten Grades habe. weil ich hier in der Formel einen negativen Koeffizienten im Term zweiten Grades habe. Also ist es eine nach unten offene Parabel. Also ist es eine nach unten offene Parabel. Wenn wir den y-Achsenabschnitt suchen, also den Punkt, an dem sie die y-Achse schneidet, Wenn wir den y-Achsenabschnitt suchen, also den Punkt, an dem sie die y-Achse schneidet, brauchen wir den y-Wert, an dem x=0 ist. Die Frage ist also, wie schnell ich m(0) berechnen kann. Die Frage ist also, wie schnell ich m(0) berechnen kann. Was ist m(x), wenn x=0? Was ist m(x), wenn x=0? Wenn ich in die erste Gleichung 0 für x einsetze, erhalte ich -2 mal -3 mal -9. Wenn ich in die erste Gleichung 0 für x einsetze, erhalte ich -2 mal -3 mal -9. Wenn ich in die erste Gleichung 0 für x einsetze, erhalte ich -2 mal -3 mal -9. Das ist nicht schwer zu berechnen, aber ich brauche etwas Kopfrechnen. Das ist nicht schwer zu berechnen, aber ich brauche etwas Kopfrechnen. Ähnlich bei der zweiten Formel: Setze ich 0 ein, erhalte ich -6² - was +36 ist - mal -2 - was -72 ist - Ähnlich bei der zweiten Formel: Setze ich 0 ein, erhalte ich -6² - was +36 ist - mal -2 - was -72 ist - Ähnlich bei der zweiten Formel: Setze ich 0 ein, erhalte ich -6² - was +36 ist - mal -2 - was -72 ist - Ähnlich bei der zweiten Formel: Setze ich 0 ein, erhalte ich -6² - was +36 ist - mal -2 - was -72 ist - und dann muss ich das zu +18 addieren. Ich kann das machen, aber ich muss dabei etwas rechnen. Ich kann das machen, aber ich muss dabei etwas rechnen. Aber in der letzten Form, die auch Normalform genannt wird, Aber in der letzten Form, die auch Normalform genannt wird, wenn ich 0 für x einsetze, verschwinden der erste und der zweite Term wenn ich 0 für x einsetze, verschwinden der erste und der zweite Term und es bleibt nur m(0) = -54. Die Normalform ist also bei weitem die leichteste Form. Die Normalform ist also bei weitem die leichteste Form. Der y-Achsenabschnitt ist also (0|-54). Aber Vorsicht: Manchmal guckst du vielleicht diese Scheitelpunktform hier an. Aber Vorsicht: Manchmal guckst du vielleicht diese Scheitelpunktform hier an. Das ist die leichteste Form, um den Scheitelpunkt herauszufinden. Das ist die leichteste Form, um den Scheitelpunkt herauszufinden. Aber wenn du diese am Ende hängende +18 hier siehst, sieht sie sehr wie diese -54 aus. Aber wenn du diese am Ende hängende +18 hier siehst, sieht sie sehr wie diese -54 aus. Aber wenn du diese am Ende hängende +18 hier siehst, sieht sie sehr wie diese -54 aus. Und du denkst vielleicht: Wenn x=0 ist, kann ich diesen Term auch streichen, Und du denkst vielleicht: Wenn x=0 ist, kann ich diesen Term auch streichen, wie ich es unten bei der dritten Form gemacht habe. Aber sei sehr, sehr vorsichtig: Denn wenn x=0, dann ist dieser Term hier nicht gleich 0. Aber sei sehr, sehr vorsichtig: Denn wenn x=0, dann ist dieser Term hier nicht gleich 0. Aber sei sehr, sehr vorsichtig: Denn wenn x=0, dann ist dieser Term hier nicht gleich 0. Wenn x=0 ist, hast du -6², was 36 ist, mal -2, und das ist gleich -72. Wenn x=0 ist, hast du -6², was 36 ist, mal -2, und das ist gleich -72. Wenn x=0 ist, hast du -6², was 36 ist, mal -2, und das ist gleich -72. Wenn x=0 ist, hast du -6², was 36 ist, mal -2, und das ist gleich -72. m(0) ist also definitiv nicht 18. Sei also sehr, sehr vorsichtig. Aber wir können sehen, dass die beste Wahl die dritte Form, die Normalform, ist. Aber wir können sehen, dass die beste Wahl die dritte Form, die Normalform, ist. Nicht die Scheitelpunktform und nicht die faktorisierte Form. Die faktorisierte Form ist sehr gut, um die Nullstellen zu berechnen. Die faktorisierte Form ist sehr gut, um die Nullstellen zu berechnen. Wir schauen uns ein weiteres Beispiel an. Dies hier ist das gleiche m(x), aber wir fragen uns etwas anderes. Dies hier ist das gleiche m(x), aber wir fragen uns etwas anderes. Wir haben die gleichen drei Formen und fragen, welche Form am schnellsten den Scheitelpunkt zeigt. Wir haben die gleichen drei Formen und fragen, welche Form am schnellsten den Scheitelpunkt zeigt. Ich habe die zweite Form vorhin schon als Scheitelpunktform bezeichnet. Aber was so nützlich an der Scheitelpunktform ist, dass du wirklich sagen kannst: Aber was so nützlich an der Scheitelpunktform ist, dass du wirklich sagen kannst: Wir erhalten den Scheitelpunkt, wenn der erste Term gleich 0 ist. Wir erhalten den Scheitelpunkt, wenn der erste Term gleich 0 ist. Wir erhalten den Scheitelpunkt, wenn der erste Term gleich 0 ist. Woher weiß ich das? Wenn du vertraut mit der Scheitelpunktform bist, wird dir das ins Blut übergehen. Wenn du vertraut mit der Scheitelpunktform bist, wird dir das ins Blut übergehen. Aber wenn es sich hier um eine nach unten offene Parabel handelt, ist der Scheitelpunkt am höchsten Punkt. Und wie du hier sehen kannst, wird (x-6)² immer nicht-negativ sein. Und wie du hier sehen kannst, wird (x-6)² immer nicht-negativ sein. Wenn du es mit -2 multiplizierst, wird es immer nicht-positiv sein. Wenn du es mit -2 multiplizierst, wird es immer nicht-positiv sein. Es ist also entweder 0 oder negativ und wird immer von der 18 abgezogen. Es ist also entweder 0 oder negativ und wird immer von der 18 abgezogen. Wenn du den Scheitelpunkt, den Maximalpunkt hier, herausfinden willst, Wenn du den Scheitelpunkt, den Maximalpunkt hier, herausfinden willst, ist das der x-Wert, der diesen Term hier 0 werden lässt. Denn für jeden anderen x-Wert wird dieser Term negativ, Denn für jeden anderen x-Wert wird dieser Term negativ, und wird von der 18 abgezogen. Welcher x-Wert macht aus diesem Term also 0? Welcher x-Wert macht aus diesem Term also 0? Natürlich wenn x=6, denn 6 minus 6 ist 0, Natürlich wenn x=6, denn 6 minus 6 ist 0, 0² ist 0, mal -2 ist 0. 0² ist 0, mal -2 ist 0. m(6) ist also 18. So wissen wir sehr schnell, dass der Scheitelpunkt bei x=6 liegt So wissen wir sehr schnell, dass der Scheitelpunkt bei x=6 liegt und dass der y-Wert oder m(6)=18 ist. und dass der y-Wert oder m(6)=18 ist. Du kannst ihn auch mit den anderen Formen berechnen. Die schwierigste Form wird die Normalform sein. Bei ihr könntest du quadratisch ergänzen oder andere Techniken anwenden. Bei ihr könntest du quadratisch ergänzen oder andere Techniken anwenden. Oder du kannst es mit der faktorisierten Form versuchen und die Nullstellen herausfinden. Oder du kannst es mit der faktorisierten Form versuchen und die Nullstellen herausfinden. Und dann weißt du, dass die x-Koordinate genau in der Mitte der beiden x-Achsenabschnitte liegt Und dann weißt du, dass die x-Koordinate genau in der Mitte der beiden x-Achsenabschnitte liegt und dann kannst du den y-Wert dort berechnen. Aber die zweite Form, die Scheitelpunktform, ist definitiv die leichteste. Aber die zweite Form, die Scheitelpunktform, ist definitiv die leichteste. Der Scheitelpunkt liegt also bei (6|18). Und noch ein letztes Beispiel: Hier haben wir eine andere Funktion, die Funktion f, in drei äquivalenten Formen. Hier haben wir eine andere Funktion, die Funktion f, in drei äquivalenten Formen. Welche Form zeigt am schnellsten die Nullstellen dieser Funktion? Welche Form zeigt am schnellsten die Nullstellen dieser Funktion? Kurze Wiederholung: Wenn du eine Parabel hast, die so aussieht, Kurze Wiederholung: Wenn du eine Parabel hast, die so aussieht, Kurze Wiederholung: Wenn du eine Parabel hast, die so aussieht, Kurze Wiederholung: Wenn du eine Parabel hast, die so aussieht, sind die Nullstellen die x-Werte, bei denen die Funktion = 0 ist. sind die Nullstellen die x-Werte, bei denen die Funktion = 0 ist. Oder auch die x-Werte der x-Achsenabschnitte. Oder auch die x-Werte der x-Achsenabschnitte. Bei welcher Form kann ich also schnell herausfinden, wann die Funktion = 0 wird? Bei welcher Form kann ich also schnell herausfinden, wann die Funktion = 0 wird? Bei welcher Form kann ich also schnell herausfinden, wenn die Funktion = 0 wird? Alle Formen sind äquivalent, denn du kannst diese beiden ersten ausmultiplizieren Alle Formen sind äquivalent, denn du kannst diese beiden ersten ausmultiplizieren und du solltest die letzte Form, die Normalform, erhalten. Mit welcher kann ich schnell die Nullstellen berechnen? In der faktorisierten Form kann ich mich folgendes fragen: Wie wird entweder dieser Term oder dieser Term 0? Wie wird entweder dieser Term oder dieser Term 0? Denn wenn einer der Terme gleich 0 ist, dann wird der gesamte Ausdruck gleich 0. Denn wenn einer der Terme gleich 0 ist, dann wird der gesamte Ausdruck gleich 0. Denn wenn einer der Terme gleich 0 ist, dann wird der gesamte Ausdruck gleich 0. Du kannst schnell sagen: Wenn x=-1, ist der erste Term gleich 0. Du kannst schnell sagen: Wenn x=-1, ist der erste Term gleich 0. Du kannst schnell sagen: Wenn x=-1, ist der erste Term gleich 0. Oder wenn x=-11, wird der zweite Term gleich 0. Oder wenn x=-11, wird der zweite Term gleich 0. Dies ist ein sehr schneller Weg, um die Nullstellen herauszufinden. Die zweite Form ist viel schwerer: Du musst herausfinden, wann die Funktion gleich 0 ist. Du musst herausfinden, wann die Funktion gleich 0 ist. Du musst einige algebraische Umformungen durchführen und schließlich wirst du ein Ergebnis erhalten. Du musst einige algebraische Umformungen durchführen und schließlich wirst du ein Ergebnis erhalten. Also würde ich die Scheitelpunktform hier ausschließen. Bei bei dieser Form, der Normalform, wäre der erste Schritt, den ich machen würde, Bei bei dieser Form, der Normalform, wäre der erste Schritt, den ich machen würde, sie in die faktorisierte Form zu überführen. Und mithilfe der faktorisierten Form würde ich dann die Nullstellen berechnen. Dies ist also definitiv wieder mehr Arbeit, wenn ich hier oben schon die faktorisierte Form habe. Dies ist also definitiv wieder mehr Arbeit, wenn ich hier oben schon die faktorisierte Form habe. Die faktorisierte Form ist also definitiv am besten, wenn du die Nullstellen herausfinden willst. Die faktorisierte Form ist also definitiv am besten, wenn du die Nullstellen herausfinden willst. Wir sollen eine der Nullstellen aufschreiben: Ich kann x=-1 oder x=-11 schreiben. Ich kann x=-1 oder x=-11 schreiben.