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Positive und negative Intervalle von Polynomen

Erfahre mehr über die Beziehung zwischen den Nullstellen von Polynomen und den Intervallen, in denen sie positiv oder negativ sind.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Die Nullstellen eines Polynoms f entsprechen den Schnittpunkten mit der x-Achse des Graphen von y=f(x).
Nehmen wir zum Beispiel f(x)=(x+3)(x1)2. Da die Nullstellen der Funktion f 3 und 1 sind, hat der Graph von y=f(x) die Schnittpunkte mit der x-Achse bei (3|0) und (1|0).
Wenn dies neu für dich ist, empfehlen wir dir, unseren Artikel Nullstellen von Polynomen zu lesen.

Was du in dieser Lektion lernst

Während die Schnittpunkte mit der x-Achse ein wichtiges Merkmal des Graphen einer Funktion sind, brauchen wir mehr, um eine gute Zeichnung zu erzeugen.
Die Kenntnis des Vorzeichens einer Polynomfunktion zwischen zwei Nullstellen kann uns helfen, einige der Lücken zu füllen.
In diesem Artikel erfährst du, wie du die Intervalle bestimmst, über die ein Polynom positiv oder negativ ist, und verbinde dies mit dem Graph.

Positive und negative Intervalle

Das Vorzeichen eines Polynoms zwischen zwei aufeinander folgenden Nullstellen ist entweder immer positiv oder immer negativ.
Betrachte beispielsweise die gezeichnete Funktion f(x)=(x+1)(x1)(x3).
Aus dem Graph sehen wir, dass f(x) immer ...
  • ... negativ ist, wenn <x<1.
  • ... positiv ist, wenn 1<x<1.
  • ... negativ ist, wenn 1<x<3.
  • ... positiv ist, wenn 3<x<.
Es ist jedoch nicht erforderlich, um eine Polynomfunktion zu zeichnen, die Vorzeichen zwischen den Nullstellen zu ändern.
Betrachte beispielsweise die gezeichnete Funktion g(x)=x(x+2)2.
Aus dem Graph sehen wir, dass g(x) immer ...
  • ... negativ ist, wenn <x<2.
  • ... negativ ist, wenn 2<x<0.
  • ... positiv ist, wenn 0<x<.
Beachte, dass sich bei g(x) das Vorzeichen um x=2 herum nicht ändert.

Bestimmung der positiven und negativen Intervalle von Polynomen

Finden wir die Intervalle, für die das Polynom f(x)=(x+3)(x1)2 positiv ist und die Intervalle, für die es negativ ist.
Die Nullstellen von f sind 3 und 1. Dadurch werden drei Intervalle erzeugt, in denen das Vorzeichen von f konstant ist:
Wir wollen das Vorzeichen f für <x<3 bestimmen.
Wir wissen, dass f in diesem Intervall entweder immer positiv oder immer negativ ist. Wir können das bestimmen, was der Fall ist, indem wir f für einen Wert in diesem Intervall auswerten. Da sich 4 in diesem Intervall befindet, bestimmen wir f(4).
Da wir uns nur für das Vorzeichen des Polynoms interessieren, müssen wir es nicht vollständig auswerten:
f(x)=(x+3)(x1)2f(4)=(4+3)(41)2=()()2Bewerte nur das Vorzeichen der Lösung.=()(+)Negativ zum Quadrat ist positiv.=Negativ mal Positiv ist Negativ.
Hier sehen wir, dass f(4) negativ ist, und daher ist f(x) für <x<3 immer negativ.
Wir können den Vorgang für die verbleibenden Intervalle wiederholen.
Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.
Intervall | Der Wert eines bestimmten f(x) innerhalb des Intervalls | Vorzeichen von f im Intervall | Verbindung mit Graph von f : - | :-: | : - <x<3 | f(4)<0 | Negativ | Unterhalb der x-Achse 3<x<1 | f(0)>0 | Positiv | Über der x-Achse 1<x< | f(2)>0 | Positiv | Über der x-Achse
Dies stimmt mit dem Graph von y=f(x) überein.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) g(x)=(x+1)2(x+6) hat Nullstellen bei x=6 und x=1.
Was ist das Vorzeichen von g im Intervall 6<x<1?
Wähle eine Lösung.

2) h(x)=(3x)(x+5)(x2) hat Nullstellen bei x=5, x=2 und x=3.
Was ist das Vorzeichen von h(x) im Intervall 5<x<2?
Wähle eine Lösung.

Challenge Aufgabe

3*) Welcher der folgenden könnte der Graph von g(x)=(x2)2(x+1)3 sein?
Wähle eine Lösung.

Bestimmung positiver und negativer Intervalle anhand einer Zeichnung des Graphen

Ein anderer Weg, um die Intervalle zu bestimmen, in denen ein Polynom positiv oder negativ ist, besteht darin, eine Skizze seines Graphen zu zeichnen, basierend auf dem Verhalten im Unendlichen des Polynoms und der Multiplizität seiner Nullstellen.
Schaue dir unseren Artikel zu Graphen von Polynomen für weitere Details an.

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