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Symmetrie von Polynomen

Erfahre, wie du bestimmen kannst, ob eine Polynomfunktion gerade, ungerade oder keins von beiden ist.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Eine Funktion ist eine gerade Funktion , wenn ihr Graph symmetrisch bezogen auf die y-Achse ist.
Algebraisch ist f eine gerade Funktion, wenn gilt f(x)=f(x) für alle x.
Eine Funktion ist eine ungerade Funktion , wenn ihr Graph bezogen auf den Ursprung symmetrisch ist.
Algebraisch ist f eine ungerade Funktion, wenn gilt f(x)=f(x) für alle x.
Wenn dies neu für dich ist, empfehlen wir dir, unsere Einführung zur Symmetrie von Funktionen anzuschauen.

Was du in dieser Lektion lernst

Du lernst anhand der Polynomialgleichung zu bestimmen, ob ein Polynom gerade, ungerade oder keins von beiden ist.

Untersuchung: Symmetrie von Monomen

Ein Monom ist ein Polynom mit nur einem Term. Monome haben die Form f(x)=axn , wobei a eine reelle Zahl und n eine ganze Zahl größer oder gleich 0 ist.
In dieser Untersuchung werden wir die Symmetrie von mehreren Monomen analysieren, um zu sehen, ob wir allgemeine Bedingungen für ein Monom finden können, um zu entscheiden ob es gerade oder ungerade ist.
Um zu bestimmen, ob eine Funktion f gerade, ungerade oder weder gerade noch ungerade ist, analysieren wir im Allgemeinen den Term für f(x):
  • Wenn f(x) das gleiche ist wie f(x), dann wissen wir, dass f gerade ist.
  • Wenn f(x) die Gegenzahl ist von f(x), dann wissen wir, dass f ungerade ist.
  • Sonst ist sie weder gerade noch ungerade.
Als erstes Beispiel wollen wir bestimmen, ob f(x)=4x3 gerade, ungerade oder keins von beiden ist.
f(x)=4(x)3=4(x3)(x)3=x3=4x3Vereinfache=f(x)Since f(x)=4x3
Hier ist f(x)=f(x), und daher ist die Funktion f eine ungerade Funktion.
Probiere nun einige Beispiele aus, um herauszufinden, ob du ein Muster finden kannst.
1) Ist g(x)=3x2 gerade, ungerade oder keins von beiden?
Wähle eine Lösung.

2) Ist h(x)=2x5 gerade, ungerade oder keins von beiden?
Wähle eine Lösung.

Die Untersuchung abschließen

Aus den Aufgaben oben sehen wir, dass, wenn f eine monomiale Funktion von geradem Grad ist, dann ist die Funktion f eine gerade Funktion. In ähnlich Weise ist, wenn f eine monomiale Funktion von ungeradem Grad ist, dann ist die Funktion f eine ungerade Funktion.
Gerade FunktionUngerade Funktion
Beispiele g(x)=3x2h(x)=2x5
Allgemeinf(x)=axn wobei n gerade istf(x)=axn wobei n ungerade ist
Dies liegt daran, dass (x)n=xn, wenn n gerade ist und (x)n=xn, wenn n ungerade ist.
Das ist wahrscheinlich der Grund, warum gerade und ungerade Funktionen überhaupt erst so genannt wurden!

Untersuchung: Symmetrie von Polynomen

In dieser Untersuchung werden wir die Symmetrie von Polynomen mit mehr als einem Term untersuchen.

Beispiel 1: f(x)=2x43x25

Um festzustellen, ob f gerade, ungerade oder kein´s von beiden ist, bestimmen wir f(x).
f(x)=2(x)43(x)25=2(x4)3(x2)5(x)n=xn falls n gerade ist=2x43x25Vereinfache=f(x)Da f(x)=2x43x25
Da f(x)=f(x) ist, ist die Funktion f eine gerade Funktion.
Beachte, dass alle Terme von f einen geraden Grad haben.

Beispiel 2: g(x)=5x73x3+x

Wir beginnen erneut mit dem Bestimmen von g(x).
g(x)=5(x)73(x)3+(x)=5(x7)3(x3)+(x)(x)n=xn falls n ungerade ist=5x7+3x3xVereinfache
Beachte an dieser Stelle, dass jeder Term bei g(x) die Gegenzahl von jedem Term bei g(x) ist. Mit anderen Worten, g(x)=g(x) und daher ist g eine ungerade Funktion.
Beachte, dass alle Terme von g einen ungeraden Grad haben.

Beispiel 3: h(x)=2x47x3

Bestimmen wir h(x).
h(x)=2(x)47(x)3=2(x4)7(x3)(x)4=x4 und (x)3=x3=2x4+7x3Vereinfache
2x4+7x3 ist nicht das Gleiche wie h(x), noch ist es das Gegenteil von h(x).
Mathematisch sind h(x)h(x) und h(x)h(x) und damit ist h weder gerade noch ungerade.
Beachte, dass h einen Term mit geradem Grad und einen Term mit ungeradem Grad hat.

Die Untersuchung abschließen

Im Allgemeinen können wir bestimmen, ob ein Polynom gerade, ungerade oder keins von beidem ist, indem wir jeden einzelnen Term untersuchen.
xAllgemeine RegelBeispiel-Polynom
GeradeEin Polynom ist gerade, wenn jeder Term eine gerade Funktion ist.f(x)=2x43x25
UngeradeEin Polynom ist ungerade, wenn jeder Term eine ungerade Funktion ist.g(x)=5x73x3+x
Weder nochEin Polynom ist weder gerade noch ungerade, wenn es sich aus geraden und ungeraden Funktionen zusammensetzt.h(x)=2x47x3

Überprüfe, ob du es verstanden hast

3) Ist f(x)=3x47x2+5 gerade, ungerade oder keins von beiden?
Wähle eine Lösung.

4) Ist g(x)=8x76x3+x2 gerade, ungerade oder keins von beiden?
Wähle eine Lösung.

5) Ist h(x)=10x5+2x3x gerade, ungerade oder keins von beiden?
Wähle eine Lösung.

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