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Restpolynom-Satz: Koeffizienten bestimmen

Sal bestimmt den Wert des Koeffizienten c in p (x) = x^3+2x^2+cx+10, damit (x-5) ein Faktor von p ist. Die Lösung Schlüssel verwendet den Faktor-Satz.

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Video-Transkript

Für welches c ist x - 5 ein Teiler von p(x)? Pausiere das Video und versuche, diese Frage zu beantworten. Das soll ein kleines p sein. p(x). Ich nehme mal an, du hast es versucht. Wenn x - 5 ein Teiler von p(x) ist, bedeutet das, dass du p(x) = (x - 5) ⋅ (einem anderen Polynom) schreiben könntest. Ein anderes Polynom. Nennen wir es einfach g(x). Es ist ein Polynom zweiten Grades. Was müsste p(5) ergeben? p(5) müsste 0 ergeben. 5 müsste eine Nullstelle dieses Polynoms sein. Das siehst du hier drüben. Wenn du das durch 5 ersetzt, wir das zu einer 5, und das zu einer 5. Es ist egal, was g(5) ist. Das ergibt 0. x - 5 ist also nur ein Teiler, wenn p(5) = 0 ist. Man kann sagen, dass 5 eine Nullstelle des Polynoms p ist. p(5) = 0. Also setzen wir jetzt p(5) = 0 und lösen nach c auf. Wir rechnen zuerst 5³. p(5) = 125 + 2 ⋅ 5², das ist 2 ⋅ 25, also + 50. + 5c + 10. Und das alles ergibt 0. Wenn wir jetzt 125, 50 und 10 addieren, erhalten wir 185. Wir haben also 185 + 5c = 0. Wir subtrahieren 185 von beiden Seiten, und erhalten 5c = -185, oder c = -185/5, was wir noch weiter kürzen können. Wir haben -185/5. 5 passt 30-mal in 180. 5 ⋅ 30 = 150. Dann haben wir noch 35 übrig, also passt die 5 genau -37-mal in -185. Stimmt das? 5 ⋅ 30 = 150, 5 ⋅ 7 = 35. Ja, -37. Wir sind fertig. Wenn wir x³ + 2x² - 37x + 10 haben, dann ist x - 5 ein Teiler dieses Polynoms.