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Hauptinhalt

Einführung in Faktoren & Teilbarkeit

Lerne was es bedeutet, dass Polynome Teiler (Faktoren) von anderen Polynomen sind oder dass sie durch sie teilbar sind.

Was wir für diese Lektion wissen müssen

Ein Monom ist ein Term, der ein Produkt von Konstanten und nichtnegativen, ganzzahligen Potenzen von x darstellt, wie 3x2. Ein Polynom ist ein Term, der aus einer Summe von Monomen besteht, wie 3x2+6x1.

Was wir in dieser Lektion lernen werden

In dieser Lektion erkunden wir die Beziehung zwischen Faktoren und Teilbarkeit in Polynomen und wir lernen auch wie wir feststellen, ob ein Polynom ein Faktor eines anderen ist.

Teiler und Teilbarkeit von ganzen Zahlen

Zwei ganze Zahlen, die multipliziert werden um eine neue Zahl zu erhalten, bestehen im allgemeinen aus Faktoren dieser Zahl.
Zum Beispiel, da 14=27 ist, wissen wir, dass 2 und 7 Teiler von 14 sind.
Eine Zahl ist teilbar durch eine andere Zahl, wenn das Ergebnis der Division eine ganze Zahl ist.
Da zum Beispiel 153=5 und 155=3, dann ist 15 teilbar durch 3 und 5. Wenn aber 94=2,25 ist, dann ist 9 nicht teilbar durch 4.
Beachte die wechselseitige Beziehung zwischen Teilern und Teilbarkeit:
Da 14=27 (was bedeutet, dass 2 ein Teiler von 14 ist), wissen wir, dass 142=7 (was bedeutet, dass 14 teilbar durch 2 ist).
14=272 ist ein Teiler von 14142=714 ist teilbar durch 2
In die andere Richtung, da 153=5 (was bedeutet, dass 15 teilbar durch 3 ist), wissen wir, dass 15=35 (was bedeutet, dass 3 ein Teiler von 15 ist).
153=515 ist teilbar durch 315=353 ist ein Faktor von 15
Dies ist im allgemeinen wahr: Wenn a ein Teiler von b ist, dass ist b teilbar durch a und umgekehrt.

Teiler und Teilbarkeit in Polynomen

Dieses Wissen kann auch für Polynome angewendet werden.
Wenn zwei oder mehr Polynome multipliziert werden, nennen wir jede dieser Polynome Teiler des Produkts.
Zum Beispiel, wir wissen, dass 2x(x+3)=2x2+6x ist. Dies bedeutet, dass 2x und x+3 Teiler von 2x2+6x sind.
Auch ist ein Polynom teilbar durch ein anderes Polynom, wenn der Quotient auch ein Polynom ist.
Zum Beispiel, da 6x23x=2x ist und da 6x22x=3x ist, dann ist 6x2 teilbar durch 3x und 2x. Da aber 4x2x2=2x ist, wissen wir, dass 4x nicht teilbar durch 2x2 ist.
Bei Polynomen können wir die gleiche Beziehung zwischen Faktoren und Teilbarkeit feststellen wie bei den ganzen Zahlen.
2x(x+3)=2x2+6x2x ist ein Teiler von 2x2+6x2x2+6x2x=x+32x2+6x ist teilbar durch 2x
6x23x=2x6x2 ist teilbar durch 3x3x(2x)=6x23x ist ein Teiler von 6x2
Im Allgemeinen, wenn p=qr für die Polynome p, q und r, dann wissen wir das Folgende:
  • q und r sind Teiler von p.
  • p ist teilbar durch q und r.

Überprüfe dein Verständnis

1) Ergänze den Satz über die Beziehung, die durch 3x(x+2)=3x2+6x ausgedrückt wird.
x+2 ist
3x2+6x, und 3x2+6x is
x+2.

2) Ein Lehrer schreibt das folgende Produkt an die Tafel:
(3x2)(4x)=12x3
Miles schlussfolgert, dass 3x2 ein Teiler von 12x3 ist.
Jude erkennt, dass 12x3 teilbar durch 4x ist.
Wer hat recht?
Wähle eine Lösung.

Teiler und Teilbarkeit bestimmen

Beispiel 1: Ist 24x4 teilbar durch 8x3?

Um diese Frage zu beantworten, können wir 24x48x3 bestimmen und kürzen. Wenn das Ergebnis ein Monom ist, dann ist 24x4 teilbar durch 8x3. Wenn das Ergebnis kein Monom ist, dass ist 24x4 nicht teilbar durch 8x3.
24x48x3=248x4x3=3x1aman=amn=3x
Da das Ergebnis ein Monom ist, wissen wir, dass 24x4 teilbar durch 8x3 ist. (Dies deutet auch an, dass 8x3 ein Teiler von 24x4 ist.)

Beispiel 2: Is 4x6 ein Teiler von 32x3?

Wenn 4x6 ein Teiler von 32x3 ist, dann ist 32x3 teilbar durch 4x6. Daher wollen wir 32x34x6 bestimmen und kürzen.
32x34x6=324x3x6=8x3aman=amn=81x3am=1am=8x3
Beachte, dass der Term 8x3 kein Monom ist, da er ein Quotient ist, kein Produkt. Daher können wir schlussfolgern, dass 4x6 kein Teiler von 32x3 ist.

Eine Zusammenfassung

Im Allgemeinen, um festzustellen, ob ein Polynom p teilbar durch ein anderes Polynom q ist, oder gleichermaßen ob q ein Teiler von p ist, können wir p(x)q(x) bestimmen und prüfen.
Ist die gekürzte Form ein Polynom, dann ist p teilbar durch q und q ist ein Teiler von p.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

3) Ist 30x4 teilbar durch 2x2?
Wähle eine Lösung.

4) Ist 12x2 ein Teiler von 6x?
Wähle eine Lösung.

Challenge Aufgaben

5*) Welche der folgenden Monome sind Teiler von 15x2y6 ?
Teiler
Kein Faktor
3x2y5
5x
10x4y3

6*) Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Höhe x+1 Einheiten und der Grundseite x+4 Einheiten ist x2+5x+4 Quadrateinheiten.
Welche der Folgenden sind Teiler von x2+5x+4?
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Warum interessiert uns das Faktorisieren von Polynomen?

Genauso wie das Faktorisieren sich als sehr hilfreich für verschiedene Anwendungen herausgestellt hat, so ist das mit der Faktorisierung von Polynomen!
Insbesondere ist das Faktorisieren von Polynomen sehr hilfreich beim Lösen von quadratischen Gleichungen und Vereinfachen von rationalen Ausdrücken.
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Wie geht es weiter?

Der nächste Schritt bei dem Prozeß des Faktorisierens enthält das Lernen, wie wir Mononme faktorisieren. Du kannst etwas darüber in unserem nächsten Artikel lernen.

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