Graphen von Polynomen: Anspruchsvolle Aufgaben

In diesem Fall kennen wir die Werte von $a$‍, $b$‍ und $c$‍ nicht, und daher können wir weder das Verhalten im Unendlichen, noch die Schnittpunkte mit der $x$‍-Achse, noch die Intervalle bestimmen, in denen das Polynom positiv oder negativ ist.

Wir wissen jedoch, dass der konstante Term $2$‍ ist. Dies ist der Schnittpunkt mit der $y$‍-Achse des Graphen von $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+2$‍, weil wenn wir $x=0$‍ eingeben, $y=2$‍ ist.

Der $y$‍-Achsenabschnitt des Graphen der Funktion ist $(0|2)$‍. Der einzige Graph mit dieser Eigenschaft ist der Graph $C$‍.

In diesem Fall kennen wir das Polynom $p(x)$‍ nicht. Deshalb können wir weder die Schnittpunkte mit der $x$‍- oder der $y$‍-Achse bestimmen, noch die Intervalle bestimmen, in denen das Polynom positiv oder negativ ist.

Wir können jedoch das Verhalten im Unendlichen bestimmen. Da der Grad von $p(x)$‍ kleiner ist als der Grad von $-2x^5$‍, wissen wir, dass $-2x^5$‍ der führende Term des Polynom sein muss!

Das Verhalten im Unendlichen von $y=-2x^5+p(x)$‍ ist das gleiche wir das Verhalten im Unendlichen des Monoms von $-2x^5$‍.

Da der Grad $-2x^5$‍ ungerade $(5)$‍ ist und der führende Koeffizient negativ $(-2)$‍, ist das Verhalten im Unendlichen wie folgt:

Diese Eigenschaft ist nur in Graph $B$‍ vorhanden.

Wir wissen den Wert von $k$‍ nicht. Deshalb können wir keine Aussage machen hinsichtlich des $y$‍-Achsenabschnitts, des Verhalten im Unendlichen oder der positiven und negativen Intervalle des Graphen der Funktion.

Wir wissen jedoch, dass $2$‍ eine Nullstelle von gerader Multiplizität ist. Das bedeutet, dass der Graph der Funktion die $x$‍-Achse bei $(2|0)$‍ berühren muss.

Wir wissen auch, dass $-1$‍ eine Nullstelle mit ungerader Multiplizität ist. Dies bedeutet, dass der Graph der Funktion die $x$‍-Achse bei $(-1|0)$‍ schneidet.

Die Graphen $A$‍ und $D$‍ haben diese Eigenschaften.