Quadratische Terme faktorisieren: Gemeinsamer Faktor + Gruppieren

Wir sollen 35k^2 plus 100k - 15 faktorisieren. Weil wir hier einen anderen Koeffizienten als 1 haben, machen wir das in Gruppen. Zuerst schauen wir, ob es einen gemeinsamen Teiler gibt. Zuerst schauen wir, ob es einen gemeinsamen Teiler gibt. Vielleicht finden wir dann einen 1 Koeffizienten. Vielleicht finden wir dann einen 1 Koeffizienten. Wenn nicht, haben wir immerhin einen kleineren Koeffizienten. Alle Zahlen hier sind durch 5 teilbar. Alle Zahlen hier sind durch 5 teilbar. Ihr größter gemeinsamer Teiler ist 5. Multiplizieren wir die 5 heraus. 35k^2 geteilt durch 5 ist 7k^2. 35k^2 geteilt durch 5 ist 7k^2. 100k geteilt durch 5 ist 20k. -15 geteilt durch 5 ist -3. Die 5 haben wir herausmultipliziert, aber wir haben immer noch keinen 1 Koeffizienten, also faktorisieren wir nun in Blöcken. Mit kleineren Zahlen ist es einfacher die Zahl zu finden, dessen Produkt gleich 7 mal -3 ist die Zahl zu finden, dessen Produkt gleich 7 mal -3 ist und dessen Summe gleich 20 ist. und dessen Summe gleich 20 ist. Wir suchen zwei Zahlen deren Produkt 7 mal -3, also -21, ist. 7 mal -3, also -21, ist. Und ihre Summe muss 20 sein. Und ihre Summe muss 20 sein. Da ihr Produkt negativ ist, müssen sie verschiedene Vorzeichen haben. Da ihr Produkt negativ ist, müssen sie verschiedene Vorzeichen haben. Die Summe der verschiedenen Vorzahlen ist quasi die Differenz der Beträge. ist quasi die Differenz der Beträge. Hier gleich 20. Die Zahl die wir sofort sehen, da wir mit 20 und 21 rechnen, ist die 1, welche wahrscheinlich negativ sein wird, weil wir die positive 20 erreichen wollen. weil wir die positive 20 erreichen wollen. Das Produkt von 21 und -1 ist -21. Das Produkt von 21 und -1 ist -21. Das Produkt von 21 und -1 ist -21. Das Produkt von 21 und -1 ist -21. Das Produkt von 21 und -1 ist -21. Und ihre Summe ist 20. Und ihre Summe ist 20. Diese Zahlen passen. Machen wir die 20k zu 21k und -1k. Machen wir die 20k zu 21k und -1k. Machen wir die 20k zu 21k und -1k. Machen wir die 20k zu 21k und -1k. 5 mal 7k^2, und hier jetzt plus 21k minus 1k. 5 mal 7k^2, und hier jetzt plus 21k minus 1k. 5 mal 7k^2, und hier jetzt plus 21k minus 1k. Oder auch -k. Ich teile es durch diese beiden Faktoren. Und wir haben endlich die -3. Das haben wir alles gemacht, um jede Gruppe zu faktorisieren. Hier ist die erste Gruppe. Was können wir aus dieser Gruppe herausmultiplizieren? Beide sind durch 7k teilbar, wir schreiben es um zu 7k^2 geteilt durch 7k = k wir schreiben es um zu 7k^2 geteilt durch 7k = k plus 21k geteilt durch 7k = 3. plus 21k geteilt durch 7k = 3. Jetzt diese Gruppe. Sie hat auch einen gemeinsamen Faktor. Multiplizieren wir die -1 heraus, -k geteilt durch -1 = k. -3 geteilt durch -1 =3. Und natürlich die 5. Die ignorieren wir kurz. Die ignorieren wir kurz. Diese Terme haben alle k+3 als Faktor. Faktorisieren wir das heraus. Und wir ignorieren weiterhin die 5. Innerhalb der Klammern können wir k+3 herausmultiplizieren, wird gleich k+3 mal k+3 mal 7k-1. Wenn das euch komisch vorkommt, könnt ihr die k + 3 hierein multiplizieren, k+3 mal 7k ist das, k+3 mal -1 ist das. k+3 mal 7k ist das, k+3 mal -1 ist das. Und die 5 bleibt die ganze Zeit hier draußen. Und die 5 bleibt die ganze Zeit hier draußen. Und die 5 bleibt die ganze Zeit hier draußen. Wir tun nicht mal Klammern darum. 5 mal k + 3 mal 7k minus 1. Und damit haben wir alles faktorisiert, wir sind fertig.