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Einführung in den binomischen Lehrsatz

Die binomische Formel sagt uns, wie man Ausdrücke der Form (a+b)ⁿ ausmultipliziert, wie zum Beispiel, (x+y)⁷. Je größer die Potenz ist, desto schwieriger ist es, Ausdrücke wie diese direkt auszumultiplizieren. Aber mit der binomischen Formel ist der Prozess relativ schnell! Erstellt von Sal Khan

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Video-Transkript

Es dauert nicht lange, bis du bemerkst, dass immer höhere Potenzen von Binomen umständlich werden können, aber lass uns ein paar durchrechnen, um zu sehen, wie schnell sie umständlich werden. Zum Beispiel das Binom a + b. Es ist ein Binom, da es aus zwei Termen besteht. Wir nehmen es hoch Null. Jeder Wert der nicht Null ist, und hoch Null genommen wird, ergibt einfach nur 1. Das war einfach. Wie sieht es mit (a + b)¹ aus? Das ergibt a + b. Was ist mit (a + b)²? Wenn du das Potenzieren von Binomen nicht geübt hast, sagst du jetzt vielleicht: a² + b². Aber das stimmt nicht. Falls du dachtest, dass das stimmt, solltest du das Potenzieren von Binomen definitiv wiederholen. (a + b)² ≠ a² + b². Es ist (a + b) ⋅ (a + b). Wenn du das ausmultiplizierst, rechnest du a ⋅ a, was a² ergibt, + a ⋅ b, was ab ergibt, + b ⋅ a, wodurch du noch ein ab erhältst, + b ⋅ b, was b² ergibt. Da du zweimal ab hast, kannst du sie addieren, also ergibt es a² + 2ab + b². Jetzt wird es interessant. Was ergibt (a + b)³? Pausiere das Video und versuche, die Aufgabe selbst zu lösen. Wir wissen, dass (a + b)³ einfach nur (a + b) ² ⋅ (a + b) ist. Also multiplizieren wir das einfach mit a + b, um das Ergebnis zu erhalten. Wir multiplizieren es mit a + b. Zuerst multipliziere ich b mit all diesen Dingen. b ⋅ b² = b³. b ⋅ 2ab = 2ab². b ⋅ a² = ba² oder a²b. Ich habe gerade b mit allem multipliziert. Jetzt multipliziere ich das alles mit a. a ⋅ b² = ab². a ⋅ 2ab = 2a²b. a ⋅ a² = a³. Wenn wir all das addieren, erhalten wir a³, wir rechnen 1a²b + 2a²b, das ergibt 3a²b, + 3ab², 2ab² + 1ab² ergibt 3ab², + b³. Wir haben jetzt nur mit der dritten Potenz gearbeitet, und es hat schon eine ganze Weile gedauert, also kannst du dir vorstellen, wie kompliziert es ist, so etwas wie (a + b)⁴ zu lösen, oder sogar (a + b)¹⁰ oder (a + b)²⁰. Du würdest den ganzen Tag dafür brauchen oder sogar noch länger. Es wäre unglaublich schwierig. Deshalb ist der Binomische Lehrsatz so hilfreich. Was ist der Binomische Lehrsatz? Der Binomische Lehrsatz sagt aus, dass, wenn wir ein Binom haben, zum Beispiel (a + b), und es hoch ⁿ nehmen, dann sagt uns der Binomische Lehrsatz, was das ergibt. Die Bezeichnungen sehen anfangs etwas kompliziert aus, aber wir bearbeiten gleich ein Beispiel. Das ergibt die Summe von k = 0 bis n, das n und dieses n sind dieselbe Zahl. von k aus n, ich erkläre das gleich, es ist Teil der Kombinatorik, (k aus n) ⋅ a^(n-k) ⋅ b^k. Das sieht etwas sperrig aus, also denken wir darüber nach, was k aus n eigentlich bedeutet. Wenn wir "k aus n" sagen, wissen wir aus der Kombinatorik, dass es n!/(k! ⋅ (n - k)!) ergibt. Versuchen wir, das anzuwenden. Wir wenden es auf das an, was uns eingeschüchtert hat, z.B. (a + b)⁴. Finden wir heraus, was das ergibt. (a + b)⁴. Der Binomische Lehrsatz sagt uns, was das ergibt. Ich werde dieselben Bezeichnungen verwenden. Die Summe von k = 0 bis 4, von k aus 4, von a^4-k ⋅ b^k. Was ergibt das jetzt? Lösen wir die Summe auf. Wir fangen bei k = 0 an, wenn k = 0, haben wir (0 aus 4) ⋅ a⁴⁻⁰ ⋅ b⁰. b⁰ ist einfach nur 1, als könnten wir da eine 1 hinschreiben oder es einfach so lassen. Das erhalten wir also, wenn k = 0. Dazu addieren wir, was wir erhalten, wenn k = 1 ist. Bei k = 1 haben wir (1 aus 4) ⋅ a⁴⁻¹, also a³, ⋅ b¹. Dazu addieren wir (2 aus 4) ⋅ a², k ist jetzt 2 also haben wir a⁴⁻², also a², ich denke, du erkennst das Muster. a⁴, a³, a², usw. und dann ⋅ b^k. k ist jetzt 2, also b², und du siehst wieder das Muster. Wir haben quasi b⁰, b¹, b², und wir müssen nur noch zwei Terme addieren. Wir addieren (3 aus 4) ⋅ a¹ ⋅ b³. Und dann noch einen Term. Wir addieren (4 aus 4), das ist unser letzter Term. Da k von 0 bis 4 geht, ist 4 aus 4 unser letzter Term. a⁴⁻⁴ = a⁰. a⁰ ist einfach nur 1, also bleibt nur b^k bzw. b⁴ übrig. Wir sind gleich fertig. Wir haben alles ausgeschrieben. Wir müssen nur herausfinden, was 0 aus 4, 1 aus 4, 2 aus 4, etc. ergeben. Also machen wir das. Wir werden einfach das hier mehrmals anwenden. (0 aus 4) = 4! / (0! ⋅ 4 - 0)!. Das ergibt also 0! ⋅ 4!. 0! definieren wir bei diesen Rechnungen als = 1, also ergibt das alles 1. Dadurch ist dieser Koeffizient 1. (1 aus 4) = 4! / 1! ⋅ (4 - 1)!, also 3! Was ergibt das? 1! = 1. 4! bedeutet 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1. 3! bedeutet 3 ⋅ 2 ⋅ 1. Ich schreibe es nochmal auf: 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 / 3 ⋅ 2 ⋅ 1. Nur die 4 bleibt übrig. Das hier ergibt also 4. Jetzt wollen wir herausfinden, was 2 aus 4 ist. (2 aus 4) = 4! / 2! ⋅, dann rechnen wir n - k, also 4 - 2, also (2 aus 4) = 4! / 2! ⋅ 2!. Was ergibt das? Das ist 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1, 2! = 2, also geteilt durch 2 ⋅ 2. Das ist 2, das ist 2. 2 ⋅ 2 = 4. 3 ⋅ 2 ⋅ 1 bleibt übrig und ergibt 6. Das ergibt also 6. Was ist dann 3 aus 4? (3 aus 4) = 4! / 3! ⋅ (4 - 3)!, also 1!. Wir wissen bereits, was das ergibt. Es ist dasselbe wie das hier. 1! und 3! haben einfach nur getauscht. Wir wissen bereits, dass es 4 ergibt. Das ist also 4. 4 aus 4? (4 aus 4) = 4! / 4! ⋅ 0!, was wir genauso hier hatten, und herausgefunden haben, dass es 1 ist. Und wir sind fertig. Wir haben herausgefunden, was (a + b)⁴ ist. Es ist 1a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b⁴. Ich schreibe es nochmal ab. Es ergibt a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b⁴. Das ist ein interessantes Muster. Es gibt eine Symmetrie mit den Koeffizienten, sie gehen von 1 zu 4 zu 6 bei dem mittleren Term, und dann wieder zurück zu 4 und 1. Dann haben wir das Muster, dass du bei a⁴ beginnst, dann a³, a², a und eigentlich auch ein a⁰ hast. Und du hast bei b⁰ angefangen, was wir nicht geschrieben haben, da es nur 1 ist, dann b¹, b², b³ und b⁴. Das ist nur ein Beispiel. In zukünftigen Videos bearbeiten wir weitere Beispiele des Binomischen Lehrsatzes, um zu verstehen, warum er funktioniert.