Binome ohne Pascalsches Dreieck ausmultiplizieren

In diesem Video möchte ich dir einen Trick vorstellen, mit dem du binomische Entwicklungen finden kannst, besonders welche bei denen der Exponent ziemlich groß ist. Denk nach diesem Video bitte über den Zusammenhang mit dem Binomischen Lehrsatz und dem Pascalschen Dreieck nach. Ich zeige dir jetzt den Trick. Ich nehme (x + y)⁷. Wir werden acht Terme haben. Woher weiß ich das? (x + y)¹ hat zwei Terme, es ist ein Binom. (x + y)² hat drei Terme. (x + y)³ hat vier Terme. Also werden wir hier acht Terme haben. Ich zeichne kurz Platzhalter für die Terme. Es sind nicht die Koeffizienten, sondern nur Platzhalter. Erster Term, zweiter Term, dritter Term, vierter Term, fünfter Term, sechster Term, siebter Term, achter Term. Jetzt tragen wir die x- und y-Terme ein. Beim ersten Term beginnen wir mit x⁷. Bei jedem nachfolgenden Term wird der Grad unserer Potenz um eins niedriger. Also x⁶, x⁵, x⁴, x³, x², x¹, das könnten wir einfach nur als x schreiben, und das hier ist x⁰, also einfach nur 1. Denken wir jetzt über y nach. Wir beginnen bei y⁰, was einfach nur 1 ist, also schreibe ich es nicht auf. Dann haben wir y¹, y², y³, y⁴, y⁵, y⁶, und dann y⁷. Die Exponenten jedes Terms sollten addiert 7 ergeben. Das kannst du sogar hier sehen. Das hier ist x¹ ⋅ y⁶. Das ergibt 7. Jetzt kommen wir zum interessanten Teil, nämlich der Berechnung des Koeffizienten. Der Algorithmus ist für jeden Term. Wir fangen also an. Wir wissen, dass der Koeffizient hier drüben 1 ist. Ich schreibe es auf. Der Koeffizient hier drüben ist 1. Für jeden Term ist der Koeffizient hier drüben der Exponent des vorherigen Terms, der Exponent des vorherigen Terms ist in diesem Fall 7, der Exponent des vorherigen Terms multipliziert mit dem Koeffizienten des vorherigen Terms, dividiert durch die Stelle des eigentlichen Terms. Das war der erste Term, also ist der Koeffizient des zweiten Terms 7 ⋅ 1 / 1, was 7 ergibt. Was ist mit diesem hier? Wir nutzen exakt denselben Prozess. Wir nehmen den Exponenten von x, nämlich 6, und multiplizieren ihn mit dem Koeffizienten des vorherigen Terms, also 7. Wir nehmen also den Exponenten von x und nehmen ihn mit dem Koeffizienten des vorherigen Terms, also 7, mal. Der Exponent von x des vorherigen Terms multipliziert mit dem Koeffizienten des vorherigen Terms, dividiert durch die Stelle des vorherigen Terms, also dividiert durch 2. Was ergibt das? Ich rechne 3 ⋅ 7 und erhalte 21. Genau dasselbe mit diesem Term. Welchen Exponenten hat x im vorherigen Term? 5. Wir multiplizieren 5 mit dem Koeffizienten, also 21, und dividieren es durch die Stelle des Terms, also 3. 21 / 3 = 7, 5 ⋅ 7 = 35. Wir könnten weitermachen, aber ich denke, du erkennst die Symmetrie. Wenn wir hier 1 haben, haben wir beim letzten Term auch 1. Wenn der zweite Term 7 ergibt, ergibt der vorletzte Term auch 7. Wenn wir beim dritten Term 21 haben, haben wir beim drittletzten Term auch 21. Wenn der vierte Term 35 ist, dann ist der viertletzte Term auch 35. Und so einfach haben wir die Entwicklung von (x + y)⁷ herausgefunden. Ganz schön praktisch, oder?