Polynome - Überblick

In diesem Video möchte ich euch die Idee des Polynoms vorstellen. In diesem Video möchte ich euch die Idee des Polynoms vorstellen. In diesem Video möchte ich euch die Idee des Polynoms vorstellen. Es hört sich schick an, ist aber im Grunde nur ein Ausdruck mit vielen Variablen und Konstanten. Es hört sich schick an, ist aber im Grunde nur ein Ausdruck mit vielen variablen und konstanten Termen, die alle eine Potenz ungleich 0 besitzen. Das hört sich also recht kompliziert an. Sehen wir uns ein Beispiel an: x² + 1 --> Dies ist ein Polynom. x² + 1 --> Dies ist ein Polynom. In diesem Fall ein Binom, da es aus zwei Termen besteht. "Polynom" ist eine allgemeinere Bezeichnung. In diesem Fall ein Binom, da es aus zwei Termen besteht. "Polynom" ist eine allgemeinere Bezeichnung. Es bedeutet, man hat mehrere Terme. "Poly" bedeutet eigentlich "viel". Es bedeutet, man hat mehrere Terme. "Poly" bedeutet eigentlich "viel". Das ist ein Binom. 4x³ - 2x² + 7 Dies wäre ein Trinom. Wir haben drei Terme. Ich gebe euch ein Gefühl dafür, was ein Polynom ist und was nicht. Ich gebe euch ein Gefühl dafür, was ein Polynom ist und was nicht. Z.B. x^-1/2 + 1, das ist dagegen kein Polynom. Z.B. x^-1/2 + 1, das ist dagegen kein Polynom. Das heißt nicht, dass man es nie mehr sieht, während man Algebra oder Mathematik macht. Das heißt nicht, dass man es nie mehr sieht, während man Algebra oder Mathematik macht. Wir nennen es einfach deswegen nicht "Polynom", da es einen negativen und bruchhaften Exponenten hat. Wir nennen es einfach deswegen nicht "Polynom", da es einen negativen und bruchhaften Exponenten hat. Oder z.B. y * Wurzel y - y². Oder z.B. y * Wurzel y - y². Auch dies ist kein Polynom, da es eine Wurzel enthält, was gleichbedeutend mit der Potenz "hoch 1/2" ist. Auch dies ist kein Polynom, da es eine Wurzel enthält, was gleichbedeutend mit der Potenz "hoch 1/2" ist. Auch dies ist kein Polynom, da es eine Wurzel enthält, was gleichbedeutend mit der Potenz "hoch 1/2" ist. Alle unsere Exponenten an unseren Variablen müssen daher nicht-negativ sein. Alle unsere Exponenten an unseren Variablen müssen daher nicht-negativ sein. Also, keine dieser beiden sind Polynome. Wenn wir uns nun mit Polynomen beschäftigen, müssen wir auch die Terminologie kennen. beschäftigen, müssen wir auch die Terminologie kennen. Vielleicht kennt ihr sie bereits, ich werde sie euch dennoch jetzt gleich näherbringen. Vielleicht kennt ihr sie bereits, ich werde sie euch dennoch jetzt gleich näherbringen. Der erste Begriff ist der Grad eines Polynoms. Der erste Begriff ist der Grad eines Polynoms. Das ist im Wesentlichen der höchste Exponent, den wir in unserem Polynom haben. Das ist im Wesentlichen der höchste Exponent, den wir in unserem Polynom haben. Dieses Polynom z.B. ist ein Polynom dritten Grades. Dieses Polynom z.B. ist ein Polynom dritten Grades. Dieses Polynom z.B. ist ein Polynom dritten Grades. Dieses Polynom z.B. ist ein Polynom dritten Grades. Warum ist dies ein Polynom dritten Grades? Weil der höchste Exponent, den wir hier haben, der x³-Term ist. Weil der höchste Exponent, den wir hier haben, der x³-Term ist. Daher wissen wir, dass es ein Polynom dritten Grades ist. Daher wissen wir, dass es ein Polynom dritten Grades ist. Und das ist der Term zweiten Grades. Weitere Begriffe, die wir beim Thema Polynome kennen sollten, sind konstante und variable Terme. Weitere Begriffe, die wir beim Thema Polynome kennen sollten, sind konstante und variable Terme. Ich nehme an, ihr wisst bereits, dass dies hier variable Terme sind. Ich nehme an, ihr wisst bereits, dass dies hier variable Terme sind. Das hier ist ein konstanter Term. Das hier ist ein konstanter Term. Der letzte Schritt, um ein Polynom weiter zu zerlegen, ist, die Koeffizienten eines Polynoms zu verstehen. Der letzte Schritt, um ein Polynom weiter zu zerlegen, ist, die Koeffizienten eines Polynoms zu verstehen. Als Beispiel nehme ich hier ein Polynom fünften Grades. Und ich schreibe es nicht in der konventionellen Form. Und ich schreibe es nicht in der konventionellen Form. Keine klare Struktur. Z.B.: x² - 5x + 7x^5 - 5. Z.B.: x² - 5x + 7x^5 - 5. Das ist ein Polynom fünften Grades. Warum? Da der höchste Exponent einer Variable diese 5 hier ist. Da der höchste Exponent einer Variable diese 5 hier ist. Dadurch wissen wir, dass es sich hier um ein Polynom fünften Grades handelt. Warum kümmert uns das? Wenn die Zahlen groß werden, ist der Term höchsten Grades derjenige, der alle anderen dominiert. Wenn die Zahlen groß werden, ist der Term höchsten Grades derjenige, der alle anderen dominiert. Wenn die Zahlen groß werden, ist der Term höchsten Grades derjenige, der alle anderen dominiert. Er wächst oder schrumpft am schnellsten, abhängig davon, ob sein Vorzeichen positiv oder negativ ist. Er wächst oder schrumpft am schnellsten, abhängig davon, ob sein Vorzeichen positiv oder negativ ist. Er wächst oder schrumpft am schnellsten, abhängig davon, ob sein Vorzeichen positiv oder negativ ist. Aber es dominiert alles andere und gibt dir ein Gefühl dafür, wie schnell der gesamte Ausdruck wächst Aber es dominiert alles andere und gibt dir ein Gefühl dafür, wie schnell der gesamte Ausdruck wächst oder, im Falle eines negativen Vorzeichens, schrumpft. oder, im Falle eines negativen Vorzeichens, schrumpft. Ich habe das Wort "Koeffizient" benutzt. Was bedeutet das? "Koeffizient" Das habe ich schonmal benutzt, als es um lineare Funktionen ging. Das habe ich schonmal benutzt, als es um lineare Funktionen ging. Koeffizienten sind lediglich konstante Terme, multipliziert mit variablen Termen. Koeffizienten sind lediglich konstante Terme, multipliziert mit variablen Termen. Hier z.B. ist der Koeffizient in diesem Term -5. Hier z.B. ist der Koeffizient in diesem Term -5. -5, auch das Vorzeichen, also müssen wir -5 Koeffizienten sehen -5, auch das Vorzeichen, also müssen wir -5 Koeffizienten sehen Der Koeffizient dieses Terms ist eine 7. Hier ist kein Koeffizient, nur ein konstanter Term, -5. Hier ist kein Koeffizient, nur ein konstanter Term, -5. Der Koeffizient des x²-Terms ist 1. Der Koeffizient des x²-Terms ist 1. Es ist implizit. Wir sagen einfach "1x²". Das nächste, was ich euch näherbringen möchte, ist die Standardform eines Polynoms. Das nächste, was ich euch näherbringen möchte, ist die Standardform eines Polynoms. Das nächste, was ich euch näherbringen möchte, ist die Standardform eines Polynoms. Nichts von dem wird euch bereits dabei helfen, ein Polynom zu lösen, wenn wir jedoch vom Lösen von Nichts von dem wird euch bereits dabei helfen, ein Polynom zu lösen, wenn wir jedoch vom Lösen von Polynomen reden, werde ich bzw. eure Lehrenden diese Terminologie möglicherweise benutzen. Polynomen reden, werde ich bzw. eure Lehrenden diese Terminologie möglicherweise benutzen. Es ist also gut zu wissen, über was wir reden. Die Standardform eines Polynoms ist im Wesentlichen eine Auflistung der Terme, geordnet nach dessen Grad. Die Standardform eines Polynoms ist im Wesentlichen eine Auflistung der Terme, geordnet nach dessen Grad. Das ist eine Nicht-Standardform. Beim Auflisten der Polynome in Standardform würde ich diesen Term zuerst setzen. Beim Auflisten der Polynome in Standardform würde ich dieses Term zuerst setzen. Also 7x^5. Was ist der nächstkleinere Grad? Nun, wir haben diesen x²-Term. Ich habe hier keinen x^4- oder x³-Term. Ich habe hier keinen x^4- oder x³-Term. Das wäre dann + 1... oder besser + x². Das wäre dann + 1... oder besser + x². Dann habe ich diesen Term, - 5x. Und zuletzt diesen letzten Term hier, - 5. Das ist also die Standardform des Polynoms geordnet nach absteigendem Grad. Das ist also die Standardform des Polynoms geordnet nach absteigendem Grad. Lasst uns nun einige Operationen mit Polynomen machen. Dies wird euch als sehr hilfreiches Werkzeug in eurer algebraischen bzw. mathematischen Karriere dienen. Dies wird euch als sehr hilfreiches Werkzeug in eurer algebraischen bzw. mathematischen Karriere dienen. Vereinfachen wir zunächst ein paar Polynome. Das haben wir bereits in vorherigen Videos angeschnitten. Das hier gibt euch jedoch einen noch besseren Sinn, vor allem bei höhergradigen Termen wie hier oben. Das hier gibt euch jedoch einen noch besseren Sinn, vor allem bei höhergradigen Termen wie hier oben. Z.B. -2x² + 4x - 12. Z.B. -2x² + 4x - 12. Dazu addiere ich 7x + x². Das Wichtige hier ist nun, dass man beim Vereinfachen dieser Polynome nur die Terme Das Wichtige hier ist nun, dass man beim Vereinfachen dieser Polynome nur die Terme von gleichem Grad addiert. Dazu mache ich ein weiteres Beispiel, bei dem ich mehrere Variablen in diese Situation involviere. Dazu mache ich ein weiteres Beispiel, bei dem ich mehrere Variablen in diese Situation involviere. Nun, diese Klammern hier sind in keinster Weise relevant. Nun, diese Klammern hier sind in keinster Weise relevant. Bei einer Subtraktion müsste ich diese hierauf verteilen, aber dies ist keine Subtraktion. Bei einer Subtraktion müsste ich diese hierauf verteilen, aber dies ist keine Subtraktion. Also kann ich das hier einfach als -2x² + 4x - 12 + 7x + x² schreiben. Also kann ich das hier einfach als -2x² + 4x - 12 + 7x + x² schreiben. Nun vereinfachen wir: Addieren wir die Terme gleichen Grades. D.h. auch die Variablen müssen identisch sein. Addieren wir die Terme gleichen Grades. D.h. auch die Variablen müssen identisch sein. Addieren wir die Terme gleichen Grades. D.h. auch die Variablen müssen identisch sein. In diesem Beispiel jedoch haben wir nur die Variable x. Also addieren wir. Wir haben diesen x²-Term und diesen x²-Term, also kann ich beide Terme addieren. Wir haben diesen x²-Term und diesen x²-Term, also kann ich beide Terme addieren. Also habe ich -2x² + x². Also habe ich -2x² + x². Dann die x-Terme: Also 4x und 7x. ...+ 4x + 7x. Und schließlich die konstanten Terme: -12. Und schließlich die konstanten Terme: -12. Ich habe -2 von etwas + 1 von etwas, was bekomme ich dann? Ich habe -2 von etwas + 1 von etwas, was bekomme ich dann? -2x² + 1x² ist -1x² bzw. -x². -2x² + 1x² ist -1x² bzw. -x². Hiermit zeige ich euch einfach, dass ich -2 + 1 rechne. Hiermit zeige ich euch einfach, dass ich -2 + 1 rechne. Dann habe ich 4x + 7x ist 11x. Und schließlich meinen konstanten Term, -12. Und ich habe schließlich ein Polynom zweiten Grades mit drei Termen. Und ich habe schließlich ein Polynom zweiten Grades mit drei Termen. Der führende bzw höchstgradige Koeffizient hier in Standardform ist die -1. Der führende bzw höchstgradige Koeffizient hier in Standardform ist die -1. Der führende bzw höchstgradige Koeffizient hier in Standardform ist die -1. Der Koeffizient hier ist 11, der konstante Term -12. Der Koeffizient hier ist 11, der konstante Term -12. Ein weiteres Beispiel dazu, um dafür ein Gefühl zu bekommen. Ein weiteres Beispiel dazu, um dafür ein Gefühl zu bekommen. Dieses mal ein wenig komplizierter. Z.B.: (2a²b - 3ab² + 5a²b²) - (2a²b² + 4a²b - 5b²) Z.B.: (2a²b - 3ab² + 5a²b²) - (2a²b² + 4a²b - 5b²) Z.B.: (2a²b - 3ab² + 5a²b²) - (2a²b² + 4a²b - 5b²) Hier habe wir ein Minuszeichen und mehrere Variablen. Gehen wir es Schritt für Schritt durch. Das Erste, was wir tun, ist, dieses Minuszeichen zu verteilen. Das Erste, was wir tun, ist, dieses Minuszeichen zu verteilen. Den ersten Teil können wir einfach schreiben als 2a²b - 3ab² + 5a²b². Den ersten Teil können wir einfach schreiben als 2a²b - 3ab² + 5a²b². Dann müssen wir dieses Minuszeichen verteilen bzw. alle diese Terme mit -1 multiplizieren, da wir hier Dann müssen wir dieses Minuszeichen verteilen bzw. alle diese Terme mit -1 multiplizieren, da wir hier das Minus draußen stehen haben. Also ...-2a²b² - 4a²b + 5b² (Minus mal Mnius ist Plus). Also ...-2a²b² - 4a²b + 5b² (Minus mal Mnius ist Plus). Nun addieren wir einfach ähnliche Terme. Ich habe also diesen 2a²b-Term. Habe ich weitere Terme, weche ein a²b besitzen? Habe ich weitere Terme, weche ein a²b besitzen? a²b! Vorsicht, genau schauen. a²b! Vorsicht, genau schauen. ab², nein ... a²b² auch nicht... Da! Hier haben wir en a²b. Schreiben wir diese beiden hier hin. Ich habe also 2a²b - 4a²b. Diese beiden Terme hier. Farbe wechseln... Hier habe ich einen ab²-Term. Habe ich weitere ab²-Term hier? Habe ich weitere ab²-Term hier? Nein, keine weiteren ab²´s, also schreibe ich einfach: -3ab². Nein, keine weiteren ab²´s, also schreibe ich einfach: -3ab². Dann hier ein a²b²-Term. Weitere davon? Ja, der nächste Term ebenfalls. Das ist ein a²b²-Term, das schreibe ich auch hin. Das ist ein a²b²-Term, das schreibe ich auch hin. + 5a²b² - 2a²b². Richtig? + 5a²b² - 2a²b². Richtig? Diese beiden hier. Und schließlich diesen Term hier am Ende, + 5b². Und schließlich diesen Term hier am Ende, + 5b². Jetzt kann ich sie addieren. Die erste Gruppe in rosa, 2 mal etwas - 4 mal etwas ist gleich -2 mal etwas. Die erste Gruppe in rosa, 2 mal etwas - 4 mal etwas ist gleich -2 mal etwas. Die erste Gruppe in rosa, 2 mal etwas - 4 mal etwas ist gleich -2 mal etwas. Also ist das -2a²b. Dann dieser Term hier, den kann man zu nichts hinzuaddieren, 3ab². Dann dieser Term hier, den kann man zu nichts hinzuaddieren, 3ab². Aber diese beiden Terme können wir addieren. Wenn ich 5 mal etwas - 2 mal etwas habe, erhalte ich 4 mal dieses etwas. Wenn ich 5 mal etwas - 2 mal etwas habe, erhalte ich 4 mal dieses etwas. ...+ 3a²b². Schließlich habe ich diesen letzten Term, + 5b². Fertig. Wir haben dieses Polynom vereinfacht. Hier, in Standardform gesetzt, kann man es auf unterschiedliche Arten betrachten. Hier, in Standardform gesetzt, kann man es auf unterschiedliche Arten betrachten. Ich betrachte dies als Term kombinierten grades. Ich betrachte dies als eine Art Term kombinierten grades. Vielleicht können wir das an den Anfang setzen, je nach eurem Geschmack. Vielleicht können wir das an den Anfang setzen, je nach eurem Geschmack. Das ist 3a²b². Dann könnt ihr entscheiden, ob ihr entweder den a²b- oder den ab²-Term zuerst setzt. ...2a²b. Dann könnt ihr entscheiden, ob ihr entweder den a²b- oder den ab²-Term zuerst setzt. ...2a²b. Dann haben wir das -3ab². Und dann einfach den b²-Term hier. ...+ 5b². Das war´s. Wir haben dieses Polynom vereinfacht. Jetzt möchte ich einige Beispiele im Konstruieren von Polynomen behandeln. Jetzt möchte ich einige Beispiele im Konstruieren von Polynomen behandeln. Damit möchte ich ein Verständnis schaffen, warum diese Polynome nützliche, abstrakte Repräsentationen sind. Damit möchte ich ein Verständnis schaffen, warum diese Polynome nützliche, abstrakte Repräsentationen sind. Wir benutzen sie immer, nicht nur in Algebra, auch später in der Infinitesimalrechnung und überall. Wir benutzen sie immer, nicht nur in Algebra, auch später in der Infinitesimalrechnung und überall. Es ist also gut, diese Dinge zu kennen. In diesen vier Beispielen möchte ich jedoch die Fläche aller Figuren in Form von Polynomen darstellen. In diesen vier Beispielen möchte ich jedoch die Fläche aller Figuren in Form von Polynomen darstellen. Ich versuche, den Farben hier so gut wie möglich zu entsprechen. Hier z.B., was ist dessen Fläche? Nun, dieser Blaue Teil hier, dessen Fläche ist x mal y. Nun, dieser Blaue Teil hier, dessen Fläche ist x mal y. Nun, dieser Blaue Teil hier, dessen Fläche ist x mal y. Was ist diese Fläche hier? Sie ist x mal z. Also ...+ x mal z. Wir haben aber zwei davon! Wir haben einmal x mal z und ein weiteres x mal z. Wir haben einmal x mal z und ein weiteres x mal z. Ich könnte hier also einfach x mal z addieren, bzw. ...+ 2 mal x mal z. Ich könnte hier also einfach x mal z addieren, bzw. ...+ 2 mal x mal z. Hier haben wir nun ein Polynom, das die Fläche dieser Figur hier repräsentiert. Hier haben wir nun ein Polynom, das die Fläche dieser Figur hier repräsentiert. Nun das Nächste. Was ist hier die Fläche? Nun, ich habe a mal b. ab. Das sieht ebenfalls nach einem ab aus, ...+ ab. Auch das sieht nach ab aus, ...+ ab. Auch das sieht nach ab aus, ...+ ab. Ehrlich gesagt sieht diese Zeichnung ein wenig seltsam aus. Ehrlich gesagt sieht diese Zeichnung ein wenig seltsam aus. Ich ignoriere am besten einfach mal dieses c hier. Vielleicht wollen sie uns sagen, dass das hier c ist. Das wäre nämlich die Information, die wir bräuchten. Veilleicht sagen sie uns, dass diese Basis hier, c ist. Veilleicht sagen sie uns, dass diese Basis hier, c ist. Das würde uns nämlich helfen. Wir nehmen für diese Video einfach an, dass das hier ein weiteres ab ist. Wir nehmen für diese Video einfach an, dass das hier ein weiteres ab ist. Also nochmal ...+ ab. Schließlich haben wir dieses a mal c. Schließlich haben wir dieses a mal c. Das ist die Fläche dieser Figur. Diese vier Terme können wir natürlich addieren. Das ist 4ab und dann haben wir + ac. Ich nehme einfach an, dass das hier ein Tippfehler war, dieses c, welches anscheinend für die Breite Ich nehme einfach an, dass das hier ein Tippfehler war, dieses c, welches anscheinend für die Breite dieses kleinen Quadrates stehen soll. Wir wissen nicht, ob es wirklich ein Quadrat ist, nur wenn a und c dasselbe sind. Wir wissen nicht, ob es wirklich ein Quadrat ist, nur wenn a und c dasselbe sind. Nun das hier. Wie kriegen wir nun die Fläche dieser rosa Figur heraus? Wir könnten die Fläche des gesamten Rechtecks nehmen, also 2xy, und dann die Fläche der beiden Wir könnten die Fläche des gesamten Rechtecks nehmen, also 2xy, und dann die Fläche der beiden Quadrate hier davon abziehen. Jedes Quadrat besitzt eine Fläche von x mal x bzw. x². Und wir haben zwei dieser Quadrate, also ...- 2x². Und wir haben zwei dieser Quadrate, also ...- 2x². Und schließlich das Beispiel ganz unten. Das sieht nach einer Trennungslinie aus. Die Fläche dieser Teilfläche hier ist a mal b, also ab. Die Fläche dieser Teilfläche hier ist a mal b, also ab. Und dann die Teilfläche hier, das sieht ebenfalls nach ab aus. Also ...+ ab. Diese Teilfläche hier ist ebenfalls ab. Die gesamte Fläche beträgt damit also 3ab. Nun, ich hoffe, das war eine gute Aufwärmübung für Polynome. Nun, ich hoffe, das war eine gute Aufwärmübung für Polynome.