Ein- und Ausgabewerte einer Umkehrfunktion

Du weißt wahrscheinlich schon, wie man eine Funktion mit einem bestimmten Wert untersucht. Wenn z.B. diese Tabelle unsere Funktionsdefinition ist, und jemand fragt: "Was ergibt f(-9)?", könntest du sagen, dass, wenn wir -9 in unsere Funktion einsetzen, dann ist x = -9 und diese Tabelle sagt uns, dass f(x) = 5 ergibt. Du hast vielleicht schon Erfahrung mit zusammengesetzten Funktionen, wie z.B. f(f(-9) + 1). Das ist interessant, es sieht sehr abschreckend aus, aber wir wissen, dass f(-9) = 5 ergibt, also ergibt das f(5 +1). Das ist also gleich f(6), und wenn wir uns unsere Tabelle anschauen, ist f(6) = -7. Das alles ist Wiederholung, jetzt möchte ich die Umkehrfunktionen von Funktionen untersuchen. Diese Funktion f lässt sich umkehren, da sie eine 1-zu-1-Zuordnung zwischen den x-Werten und den f(x)-Werten ist. Keine zwei x-Werte werden demselben f(x) zugeordnet, also ist es eine umkehrbare Funktion. Mit diesem Wissen schauen wir uns jetzt an, ob wir z.B. die Umkehrfunktion von f(8) untersuchen können. Was ergibt das? Ich ermutige dich, das Video zu pausieren und darüber nachzudenken. Eine Erinnerung daran, was Funktionen tun: f(x) ordnet einen Wert im Definitionsbereich einem entsprechenden Wert in der Zielmenge zu. Das macht f also. Das hier ist der Definitonsbereich, und das hier drüben ist die Zielmenge. Bei der Umkehrfunktion von f, wird der Wert von der Zielmenge zurück zum entsprechenden Wert im Definitionsbereich zugeordnet. Aber wie lösen wir die Funktion hier? Die Umkehrfunktion f(8) ordnet etwas 8 zu. Wenn das also 8 ist, was ist der 8 dann zugeordnet? Wir sehen hier, dass f(9)=8 ist, also ist f^-1(8) = 9. Um es etwas zu vereinfachen, zeichne ich eine Tabelle mit den Werten x und der Umkehrfunktion f^-1 (x). Und dann tausche ich einfach diese beiden Spalten. f(x) geht von -9 zu 5, f^-1(x) geht von 5 zu -9. Ich habe einfach nur beide getauscht. Jetzt ordnen wir von hier nach da zu. f^-1(x) ordnet 7 also -7 zu. Anstatt jetzt von hier nach dort zuzuordnen, ordnen wir von dort nach hier drüben zu. Die Umkehrfunktion von f ordnet 13 der 5 zu. Sie ordnet -7 der 6 zu. Sie ordnet 8 der 9 zu, und 12 der 11 zu. Sieht so aus, als hätte ich alle. Ich habe nur diese beiden Spalten getauscht. Die Umkehrfunktion von f ordnet von dieser Spalte zur anderen zu. Ich habe sie einfach nur getauscht. Jetzt ist es etwas eindeutiger. Hier kannst du es sehen. Wenn du die Umkehrfunktion von f(8) haben willst, setzt du 8 in f^-1 ein und erhältst 9. Das können wir jetzt benutzen, um schwierigere Dinge zu tun. Wir können so etwas wie f(f^-1(7)) untersuchen. Was ergibt das? Schauen wir uns zuerst f^-1(7) an. f^(7) ordnet die 7 der -7 zu. Dieser Teil hier drin, f^-1(7) ergibt also -7. Und wenn wir dann die Funktion untersuchen, f(-7) = 7. Und das ergibt Sinn. Wir haben von f^-1(7) zu -7 zugeordnet, und dann die Funktion davon untersucht, und sind zurück zur 7 gekommen. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel, damit wir uns daran gewöhnen, zwischen diesen zwei Sets hin und her zuzuordnen, zwischen der Funktion und der Umkehrfunktion der Funktion. Schauen wir uns f^-1(f^-1(13)) an. Was ergibt das? Ich ermutige dich, das Video zu pausieren und es selbst herauszufinden. Was ergibt f^-1(13)? In dieser Tabelle ordnet f^-1 die 13 der 5 zu. Hier drüben siehst du, dass f die 5 der 13 zuordnet, also ordnet f^-1 die 13 der 5 zu. f^-1(13) = 5, also ist dieser ganze Teil dasselbe wie f^-1(5). Was ergibt f^-1(5)? f^-1 ordnet 5 der -9 zu. Also ergibt das -9. f ordnet -9 der 5 zu und f^-1 ordnet 5 der -9 zu. Wenn du zuerst diese Funktionen und Umkehrfunktionen durchführst, ist es etwas verwirrend, da du hin und her gehst, aber denk einfach dran, dass eine Funktion ein Set von Zahlen einem anderen Set von Zahlen zuordnet. Die Umkehrfunktion dieser Funktion dreht es herum. Wenn die Funktion von 9 zur 8 geht, geht die Umkehrfunktion von 8 zur 9. Du tauscht also nur diese beiden Spalten. Ich hoffe, das hilft dir weiter.