Cam ist einen Bauer. Jedes Jahr pflanzt er Samen an, die zu Mais werden. Die Funktion unten gibt die Menge $C$‍ an Mais in Kilogramm (kg) an, die er erwartet zu produzieren, wenn er Mais auf $a$‍ Hektar Land pflanzt.

Wenn zum Beispiel Cam auf zwei Hektar anpflanzt, erwartet er $C(2)=7500(2)-1500=13500$‍ $\text{kg}$‍ des Mais zu produzieren.

Was Cam wirklich wissen möchte, ist wie viel Geld er mit dem Verkauf von Mais verdienen kann. Also nutzt er die folgende Funktion, um den Geldbetrag $M$‍ in Euro abzuschätzen, den er aus dem Verkauf von $c$‍ Kilogramm Mais verdient.

Wenn Cam daher $13500\text{ kg}$‍ Mais produziert, kann er $M(13500)=0,9(13500)-50=12100\text{€}$‍ verdienen.

Beachte, dass Cam zwei verschiedene Funktionen verwenden muss, um von gepflanztem Hektar zum erwarteten Verdienst zu kommen. Die erste Funktion $C$‍ bildet Hektar auf Mais, während die zweite Funktion $M$‍, Mais in Geld umwandelt.

Wäre es nicht toll, wenn Cam eine Funktion schreiben kann, die den bepflanzten Hektar Land direkt in den Verdienst umrechnet?

Wir können tatsächlich die Funktion bestimmen, die aus den angepflanzten anpflanztet Hektar direkt den zu erwarten den Verdienst berechnet! Um diese neue Funktion zu bestimmen, denken wir über die allgemeinste Frage noch: Wieviel Geld kann Cam erwarten zu verdienen, wenn er die Maissaat auf $a$‍ Hektar Land anpflanzt?

Wenn Cam Mais auf $a$‍ Hektar anpflanzt, erwartet er, $C(a)$‍ Kilogramm Mais zu produzieren. Und wenn er $C(a)$‍ Kilogramm Mais produziert, erwartet er, $M(C(a))$‍ Euro zu verdienen.

Um also eine allgemeine Regel aufzustellen, die $a$‍ Hektar Land direkt in den erwarteten Verdienst umwandelt, bestimmen wir den Ausdruck $M(C(a))$‍.

Aber wie lösen wir das? Beachte, dass in dem Ausdruck $M(C(a))$‍ die Funktion $C(a)$‍ das Argument von $M$‍ ist. Um also diesen Ausdruck zu bestimmen, können wir $C(a)$‍ mit $c$‍ in der Funktion $M$‍ ersetzen.

Die Funktion $M(C(a))=6750a-1400$‍ wandelt somit gepflanzte Hektar direkt in erwarteten Verdienst um. Lass uns die neue Funktion benutzen, um den Geldbetrag, den Cam verdienen würde, vom angepflanzten Mais auf zwei Hektar Land, vorherzusagen.

Durch Anpflanzen vor Mais auf zwei Hektar Land kann Cam erwarten, $12100\text{€}$‍ zu verdienen, was im Einklang mit unserem bisherigen Ergebnis ist!

Wir haben nun bestimmt was als verkette Funktion genannt wird. Statt Hektar in die Mais Funktion einzusetzen und dann die produzierte Menge Mais in die Geld Funktion umzuwandeln, haben wir eine Funktion bestimmt, die bepflanzte Hektar direkt in den erwarteten Gewinn umrechnet.

Wir haben dies durch die Substitution von $C(a)$‍ in Funktion $M$‍ gefunden oder durch die Funktion $M(C(a))$‍ bestimmt. Lasst uns diese neue Funktion $M\circ C$‍ nennen, die man als ,,$M$‍ verkettete mit $C$‍'' liest.

Wir wissen nun, dass $(M\circ C)(a)=M(C(a))$‍. Dies ist tatsächlich die formale Definition der verketteten Funktion.

Hier ist eine visuelle Hilfe, um die Definition oben zu interpretieren.

Wenn wir beide Funktionen, $C$‍ und $M$‍, verwenden, berechnet die Maisfunktion $C$‍ aus zwei Hektar 13 500 kg. Die Geldfunktion $M$‍ berechnet dann aus den 13 500 kg den Verdienst 12 100 €.

Mit der verketten Funktion $M\circ C$‍ könnten wir den 2 Hektar Land direkt den Verdienst von 12 100 € berechnen.

Die beiden sind gleichwertig!

Ben ist ein Kartoffelbauer. Die Funktion $P(a)=25000a-1000$‍ gibt die Menge der Kartoffeln in Kilogramm an, die er bei Anpflanzung von Kartoffeln auf $a$‍ Hektar Land zu produzieren erwartet. Die Funktion $M(p)=0,2p-200$‍ gibt die Menge Geld in US-Dollar an, die Ben erwartet zu verdienen, wenn er $p$‍ Kilogramm Kartoffeln produziert.