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Funktionen zusammensetzen

Wir gehen durch die Beispiele, Erklärungen und Übungen, um zu lernen darüber, wie man verkettete Funktionen bestimmen und lösen kann.
Sind zwei Funktionen gegeben können wir sie kombinieren, indem die Ausgabe von einer Funktion zur Eingabe der anderen werden. Damit definieren wir eine verkettete Funktion. Lass uns schauen, was das bedeutet!

Auswertung von verketteten Funktionen

Beispiel

Wenn f(x)=3x1 und g(x)=x3+2, was ist dann der Wert von f(g(3))?

Lösung

Eine Möglichkeit f(g(3)) auszuwerten ist, von ,,innen nach außen'' zu arbeiten. In anderen Worten: wir werten zuerst g(3) aus, dann ersetzen wir dieses Ergebnis in f um die Antwort zu bestimmen.
Ermitteln wir g(3).
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   Substituiere x=3.=29
Da g(3)=29 gilt f(g(3))=f(29).
Nun ermitteln wir f(29).
f(x)=3x1f(29)=3(29)1               Substituiere x=29.=86
Daraus folgt, dass f(g(3))=f(29)=86.

Bestimmen der zusammengesetzen Funktion

Im obigen Beispiel hat die Funktion g 3 auf 29 abgebildet und dann hat die Funktion f 29 auf 86 abgebildet. Bestimmen wir die Funktion, die 3 direkt auf 86 abgebilden hat.
Dafür müssen wir die beiden Funktionen zusammensetzen und f(g(x)) ermitteln.

Beispiel

Was ist f(g(x))?
Denke daran, dass f(x)=3x1 und g(x)=x3+2.

Lösung

Wenn wir den Ausdruck f(g(x)) sehen, können wir sehen, dass g(x) die Eingabe der Funktion f ist. Deshalb ersetzten wir g(x) überall, wenn ein x in Funktion f vorkommt.
f(x)=3x1f(g(x))=3(g(x))1
Da g(x)=x3+2 können wir x3+2 für g(x) substituieren.
f(g(x))=3(g(x))1=3(x3+2)1=3x3+61=3x3+5
Mit dieser neuen Funktion sollten wir für das Argument 3 direkt 86 erhalten. Überprüfen wir das.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86
Ausgezeichnet!

Üben wir

Aufgabe 1

f(x)=3x1
g(x)=x3+2
Berechne g(f(1)).
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Aufgabe 2

m(x)=3x2
n(x)=x+4
Berechne m(n(x)).

verkettete Funktionen: eine formale Definition

Im obigen Beispiel haben wir eine verkettete Funktion bestimmt und bewertet.
Im Allgemeinen können wir eine Funktion f als Verkettung mit der Funktion g als fg beschreiben. Wir lesen "f ist verkettet mit g". Diese Komposition wird durch dir folgende Regel definiert:
(fg)(x)=f(g(x))
Das Diagramm unten zeigt die Beziehung zwischen (fg)(x) und f(g(x)).
Nun betrachten wir ein anderes Beispiel mit dieser neuen Definition im Hiterkopf.

Beispiel

g(x)=x+4
h(x)=x22x
Bestimme (hg)(x) und (hg)(2).

Lösung

Wir können (hg)(x) wie folgt bestimmen:
(hg)(x)=h(g(x))Definieren.=(g(x))22(g(x))Ersetze x durch g(x) in der Funktion h.=(x+4)22(x+4)Ersetze g(x) durch x+4.=x2+8x+162x8Distribute.=x2+6x+8Kombinieren gleichartiger Terme.
Da wir jetzt die Funktion hg haben, können wir einfach 2 durch x ersetzen um (hg)(2) zu bestimmen.
(hg)(x)=x2+6x+8(hg)(2)=(2)2+6(2)+8=412+8=0
Natürlich könnten wir auch (hg)(2) bestimmen durch Auswertung von h(g(2)). Dies ist unten dargestellt:
(hg)(2)=h(g(2))=h(2)        Since g(2)=2+4=2=0             Since h(2)=222(2)=0
Das Diagramm unten zeigt wie (hg)(2) mit h(g(2)) zusammenhängt.
Hier sehen wir, dass die Funktion g 2 auf 2 abbildet und dann die Funktion h 2 auf 0 abbildet, während die Funktion hg 2 direkt auf 0 abbildet.

Jetzt lösen wir einige Übungsanfgaben

Aufgabe 3

f(x)=3x5
g(x)=32x
Berechne (gf)(3).
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

In Aufgaben 4 und 5, setzen wir f(t)=t2 und g(t)=t2+5.

Aufgabe 4

Berechne (gf)(t).

Aufgabe 5

Berechne (fg)(t).

Challenge Aufgabe

Die Graphen der Gleichungen y=f(x) und y=g(x) werden in der Tabeller unten abgebildet.
Welches der folgenden entspricht dem Wert von (fg)(8) am besten?
Wähle eine Lösung.

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