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Funktionen multiplizieren und dividieren

Wir zeigen nun wie wir durch Multiplizieren oder Dividieren zweier Funktionen eine neue Funktion erstellen können.
Ebenso wir Zahlen multiplizieren und dividieren, können wir auch Funktionen multiplizieren und dividieren. Zum Beispiel können wir aus den Funktionen f und g zwei neue Funktionen bilden: fg und fg.

Multiplikation zweier Funktionen

Beispiel

Schauen wir uns ein Beispiel an, um zu sehen, wie das funktioniert.
Für f(x)=2x3 und g(x)=x+1, bestimme (fg)(x).

Lösung

Der schwierigste Teil bei der Kombination von Funktionen ist die Notation zu verstehen. Was bedeutet (fg)(x)?
(fg)(x) entspricht dem Produkt von f(x) und g(x). Mathematisch bedeutet dies, dass (fg)(x)=f(x)g(x).
Nun wird dies ein altbekanntes Problem.
(fg)(x)=f(x)g(x)Definiere.=(2x3)(x+1)Setze ein.=2x2+2x3x3Multipliziere aus.=2x2x3Fasse gleichartige Terme zusammen.
Hinweis: wir haben das Ergebnis vereinfacht um ein schöneren Ausdruck zu erhalten, aber das ist nicht nötig.

Lass uns einige Übungsaufgaben lösen.

Aufgabe 1
c(y)=3y4d(y)=32y
Berechne (cd)(y).

Aufgabe 2
m(x)=x23xn(x)=x5
Berechne (mn)(1).
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Zwei Funktionen dividieren

Das Teilen zweier Funktionen funktioniert auf ähnliche Weise. Hier ist ein Beispiel.

Beispiel

h(n)=2n1 und j(n)=n+3.
Bestimme (jh)(n).

Lösung

Per Definition gilt: (jh)(n)=j(n)h(n).
Jetzt können wir die Aufgabe lösen.
(jh)(n)=j(n)h(n)Definiere.=n+32n1Setze ein. 
Zwei wichtige Hinweise zu dieser Funktion:
  1. Diese Funktion ist vereinfacht in die aktuelle Form.
  2. Die Funktion ist nicht definiert für n=12. Und zwar, weil 2n1=0 bei n=12 und die Division durch 0 nicht definiert ist.

Lass uns einige Übungsaufgaben lösen

Aufgabe 3
g(t)=t24h(t)=t+8
Berechne (gh)(t).

Aufgabe 4
p(r)=5r2q(r)=r+2
Bewerte (pq)(4).
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Aufgabe 5
f(x)=x+4g(x)=x3
Für welchen Wert von x ist (fg)(x) undefiniert?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

Eine Anwendung

Die Distanz und die Zeit, die Jordan jeden Tag läuft, hängt von der die Anzahl der Stunden h ab, die sie arbeitet. Die Distanz D in Meilen und die Zeit T in Minuten, die sie läuft, sind mit der Funktion D(h)=0,5h+8,5 bzw. T(h)=6h+90 gegeben.
Sei Funktion S die Durchschnittsgeschwindigkeit, mit der Jordan an einem Tag herumläuft, wenn sie h Stunden arteitet
Aufgabe 6
Welche der folgenden Ausdrücke definiert richtig die Funktion S?
Wähle eine Lösung.

Challengeaufgabe
Die Graphen von y=f(x) und y=g(x) sind auf dem Raster unten dargestellt.
Welche Graph stellt y=(fg)(x) dar?
Wähle eine Lösung.

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