Exponentieller Verfall - Einführung

In diesem Video machen wir einen kurzen Rückblick über exponetielles Wachstum, um dies für die In diesem Video machen wir einen kurzen Rückblick über exponetielles Wachstum, um dies für die Einführung in den exponentiellen Abfall zu verwenden. Einführung in den exponentiellen Abfall zu verwenden. Betrachten wir zunächst exponentielles Wachstum. Wir stellen dafür folgende Tabelle auf: Wir stellen dafür folgende Tabelle auf: Wir stellen dafür folgende Tabelle auf: Das ist unser x und unser y. Für x=0 ist y=3. Und jedesmal, wenn wir x um 1 erhöhen, verdoppeln wir y. Aus 3 wird 6. Wenn x um 1 erhöht wird, also 2, verdoppeln wir y erneut. Wenn x um 1 erhöht wird, also 2, verdoppeln wir y erneut. Also 6 mal 2 ist 12. Hier haben wir exponentielles Wachstum. Das können wir sogar für negative x´e machen. Wenn x=-1 ist, teilen wir hier durch 2. Wenn x=-1 ist, teilen wir hier durch 2. Das ist also 3/2. Das ist also 3/2. Merkt euch: Wenn man von -1 zu 0 geht, verdoppelt man wieder und immer wieder. Merkt euch: Wenn man von -1 zu 0 geht, verdoppelt man wieder und immer wieder. Merkt euch: Wenn man von -1 zu 0 geht, verdoppelt man wieder und immer wieder. Dies kann man mit einer Gleichung beschreiben. Nehmen wir y=3, manchmal auch "Schnittpunkt" oder "Anfangspunkt" genannt. Nehmen wir y=3, manchmal auch "Schnittpunkt" oder "Anfangspunkt" genannt. Nehmen wir y=3, manchmal auch "Schnittpunkt" oder "Anfangspunkt" genannt. Nehmen wir y=3, manchmal auch "Schnittpunkt" oder "Anfangspunkt" genannt. Bei x =0 haben wir 3 mal unsere Steigungsrate. Bei x =0 haben wir 3 mal unsere Steigungsrate. Was ist unsere Steigungsrate? Nun, das ist der Faktor, mit dem wir unser y jedesmal multiplizieren. 3 mal unsere Steigungsrate, 2, hoch x. 3 mal unsere Steigungsrate, 2, hoch x. Das kann man prüfen. Für irgendeine Zahl hier. Das kann man prüfen. Für irgendeine Zahl hier. Für x=2 haben wir 3 mal 2², also 3 mal 4, das ergibt dann 12. Für x=2 haben wir 3 mal 2², also 3 mal 4, das ergibt dann 12. Für x=2 haben wir 3 mal 2², also 3 mal 4, das ergibt dann 12. Das sehen wir am Graphen, den ich hier gerade einmal hinskizziere... Das sehen wir am Graphen, den ich hier gerade einmal hinskizziere... Das sehen wir am Graphen, den ich hier gerade einmal hinskizziere... Das sehen wir am Graphen, den ich hier gerade einmal hinskizziere... Der Maßstab meiner x- und y-Achsen stimmt hier nicht hunderprozentig übrerein. Der Maßstab meiner x- und y-Achsen stimmt hier nicht hunderprozentig übrerein. Der Maßstab meiner x- und y-Achsen stimmt hier nicht hunderprozentig übrerein. Der Maßstab meiner x- und y-Achsen stimmt hier nicht hunderprozentig übrerein. Für die x-Achse, -1, 1, 2. Hier gehen wir bis 12. Wir teilen ein in 3, 6, 9 und hier 12. Wir teilen ein in 3, 6, 9 und hier 12. Die Punkte hier können wir einfach einzeichnen. Für x=1 ist y=3/2. Genau hier. Bei x=0 ist dann y=3. Bei x=0 ist dann y=3. Bei x=1 verdoppelt sich der y-Wert, und ist bei 6. Bei x=1 verdoppelt sich der y-Wert, und ist bei 6. Bei x=2 ist y=12. Hier haben wir die Kontrolllinie. Hier gibt es einige Schlüsseleigenschaften, von denen wir bereits einige kennen gelernt haben. Hier gibt es einige Schlüsseleigenschaften, von denen wir bereits einige kennen gelernt haben. Je höher der negative x-Wert zunimmt, desto näher schmiegt sich der Graph an die x-Achse. Je höher der negative x-Wert ist, desto mehr nähert sich der Graph der x-Achse an. Sie wird aber nie 0. Die Annäherung erfolgt bei immer negativeren Werten. Die Annäherung erfolgt bei immer negativeren Werten. Bei immer positiveren Werten steigt der Graph geradezu sprunghaft an. Bei immer positiveren Werten steigt der Graph geradezu sprunghaft an. Wir haben bereits darüber geredet, wie das hier irgendwann an jeder linearen Funktion vorübergeht. Wir haben bereits darüber geredet, wie das hier irgendwann an jeder linearen Funktion vorübergeht. Wir haben bereits darüber geredet, wie das hier irgendwann an jeder linearen Funktion vorübergeht. Vergleichen wir dies nun mit exponentiellem Abfall. Vergleichen wir dies nun mit exponentiellem Abfall. Anstatt bei x-Zunahme zu wachsen, schrumpfen wir jedes mal um einen bestimmten Wert. Anstatt bei x-Zunahme zu wachsen, schrumpfen wir jedes mal um einen bestimmten Wert. Anstatt bei x-Zunahme zu wachsen, schrumpfen wir jedes mal um einen bestimmten Wert. Wir fallen ab. Machen wir eine weitere Tabelle mit x- und y-Werten. Machen wir eine weitere Tabelle mit x- und y-Werten. Normalerweise sollte diese Linie schön gerade werden, da sich aber offentsichtlich Brösel auf Normalerweise sollte diese Linie schön gerade werden, da sich aber offentsichtlich Brösel auf meiner Tastatur befinden, funktioniert das nicht so ganz, wie ich das möchte... meiner Tastatur befinden, funktioniert das nicht so ganz, wie ich das möchte... meiner Tastatur befinden, funktioniert das nicht so ganz, wie ich das möchte... (lacht) Also... (lacht) Also... Wir haben x und y. Fangen wir wie vorher an. Bei x=0 ist y=3. Fangen wir wie vorher an. Bei x=0 ist y=3. Fangen wir wie vorher an. Bei x=0 ist y=3. Anstatt nun aber zu verdoppeln, jedesmal wenn wir x um 1 erhöhen, halbieren wir nun, wenn wir x um 1 erhöhen. Bei x=1 also, multiplizieren wir mit 1/2 und erhalten so 3/2. Bei x=1 also, multiplizieren wir mit 1/2 und erhalten so 3/2. Dann bei x=2 multiplizieren wir erneut mit 1/2 und erhalten 3/4. Dann bei x=2 multiplizieren wir erneut mit 1/2 und erhalten 3/4. Usw... Gehen wir in die andere Richtung. Bei x=-1 dividieren wir stattdessen durch 1/2. Bei x=-1 dividieren wir stattdessen durch 1/2. Bei x=-1 dividieren wir stattdessen durch 1/2. So erhalten wir 6. Springen wir von 0 zu 1, multiplizieren wir dagegen wieder mit 1/2. Springen wir von 0 zu 1, multiplizieren wir dagegen wieder mit 1/2. Springen wir von 0 zu 1, multiplizieren wir dagegen wieder mit 1/2. Wie stellen wir dies in einer Gleichung dar? Pausiert hierzu bitte das Video und seht, ob ihr das in ähnlicher Form wie bereits links darstellen könnt. Pausiert hierzu bitte das Video und seht, ob ihr das in ähnlicher Form wie bereits links darstellen könnt. Es sieht ähnlich aus. Wir haben: y ist gleich... Wir haben unseren y-Achsenabschnitt hier, den y-Wert bei x=0. Wir haben unseren y-Achsenabschnitt hier, den y-Wert bei x=0. Also 3 mal -- Was ist unser gemeinsames Verhältnis hier? Nun, jedesmal, wenn wir x um 1 erhöhen, multiplizieren wir mit 1/2. Nun, jedesmal, wenn wir x um 1 erhöhen, multiplizieren wir mit 1/2. Also 3 mal (1/2) hoch x. Das sind beides Exponenten. Wir haben hier im Prinzip y-Achsenabschnitte bzw. Anfangswerte. Diese werden mit unserer Steigungsrate hoch x multipliziert. Diese werden mit unserer Steigungsrate hoch x multipliziert. Diese werden mit unserer Steigungsrate hoch x multipliziert. Wenn wir unsere Steigungsrate um 1 erhöhen und es sich um eine allgemeine Darstellungsform handelt, Wenn wir unsere Steigungsrate um 1 erhöhen und es sich um eine allgemeine Darstellungsform handelt, dann ist der Absolutwert der Steigungsrate <1. dann ist der Absolutwert der Steigungsrates >1. dann ist der Absolutwert der Steigungsrate >1. Der Absolutwert von 2 ist hier also >1. Der Absolutwert von 2 ist hier also >1. Beim Schrumpfen dagegen ist der Absolutwert <1. Beim Schrumpfen dagegen ist der Absolutwert <1. Das macht Sinn, da wir bei einem Absolutwert <1, wie z.B. 1/2 oder 3/4 oder 0,9, Das macht Sinn, da wir bei einem Absolutwert <1, wie z.B. 1/2 oder 3/4 oder 0,9, Das macht Sinn, da wir bei einem Absolutwert <1, wie z.B. 1/2 oder 3/4 oder 0,9, beim Multiplizieren dieser Werte einen immer kleineren Wert erhalten. beim Multiplizieren dieser Werte einen immer kleineren Wert erhalten. Auch das können wir skizzieren. Auch das können wir skizzieren. In anderer Farbe. Blau. In anderer Farbe. Blau. Bei x=-1 ist y=6. Bei x=-1 ist y=6. Bei x=0 ist y=3. Bei x=1 ist y =3/2. Bei x=2 ist y=3/4. Usw... Da unsere Steigungsraten das komplette Gegenteil zueinander sind, Da unsere Steigungsraten das komplette Gegenteil zueinander sind, sieht es so aus, also ob die beiden Graphen gekippt worden wären, und zwar horizontal über die y-Achse. und zwar horizontal über die y-Achse. Sie sind symmetrisch zur y-Achse. Bei exponentiellen Abfall sehen wir also, dass Werte kleiner und kleiner werden, aber nie wirklich 0 werden. Beim exponentiellen Abfall sehen wir also, dass Werte kleiner und kleiner werden, aber nie wirklich 0 werden. Beim exponentiellen Abfall sehen wir also, dass Werte kleiner und kleiner werden, aber nie wirklich 0 werden. Sie gehen gegen 0. Der Graph schmiegt sich an die x-Achse, je größer x wird. Der Graph schmiegt sich an die x-Achse, je größer x wird. Das Gleiche bei exponentiellen Wachstum. Wenn x mehr und mehr negativ wird, schmiegen wir uns an die x-Achse. Wenn x mehr und mehr negativ wird, schmiegen wir uns an die x-Achse. Ich habe hier zwar ein recht spezifisches Beispiel behandelt, im Allgemeinen jedoch haben wir letzlich eine Gleichung dieser Form: y gleich A mal Steigungsrate hoch x. letzlich eine Gleichung dieser Form: y gleich A mal Steigungsrate hoch x. Das ist eine von vielen Möglichkeiten, dies zu schreiben. Das ist eine von vielen Möglichkeiten, dies zu schreiben. Dies ist eine von vielen Möglichkeiten, es zu schreiben. Das hier ist exponentielles Wachstum, wenn also der Abslutwert von r >1 ist, haben wir es mit Wachstum zu tun. wenn also der Abslutwert von r >1 ist, haben wir es mit Wachstum zu tun. Jedesmal wenn wir x erhöhen, multiplizieren wir mit mehr und mehr r´s. Jedesmal wenn wir x erhöhen, multiplizieren wir mit mehr und mehr r´s. Jedesmal wenn wir x erhöhen, multiplizieren wir mit mehr und mehr r´s. Wenn der Absolutwert <1 ist, handelt es sich um exponentiellen Abfall. Wenn der Absolutwert <1 ist, handelt es sich um exponentiellen Abfall. Wir schrumpfen mit wachsendem x. Was passiert nun, wenn r=1 ist? Was passiert nun, wenn r=1 ist? Was haben wir dann? Eine knifflige Frage. Bei r=1 wird das hier immer gleich 1 bleiben, also bleibt nur noch die Konstante übrig. Bei r=1 wird das hier immer gleich 1 bleiben, also bleibt nur noch die Konstante übrig. Bei r=1 wird das hier immer gleich 1 bleiben, also bleibt nur noch die Konstante übrig. y ist gleich A, also wäre dies einfach eine horizontale Linie.